Correction Exercice Spé TS
1. Soitakak−1a2a1a0l’écriture dexen base 10 (∀i∈ 0;k, 0≤ai≤9). Alorsx=ak×10k+ ...+a2×102+a1×10+a0=10×(ak×10k−1+...+a2×10+a1)+a0avec 0≤a0<10 donc a0est bien le reste de la division euclidienne dexpar 10.
Ainsi,xest congru à son chiffre des unités modulo 10.
2. Sin=2016,
(a) 32≡ −1 [10], donc 32016≡(−1)1008≡1 [10]. Ainsi, 32016se termine par un 1.
(b) 22≡ −1 [5], donc 22016≡(−1)1008≡1 [5]. Ainsi, le reste de la division par 5 est 1 et le nombre 22016étant pair, son chiffre des unités est 6.
(c) Le chiffre des unités de 22016+32016est donc 7.
3. nquelconque :
(a) Étude de cas (conjecture)
n 0 1 2 3 4 5 6 7
Reste de 2nmod 5 1 2 −1 −2 1 2 −1 −2 Reste de 3nmod 5 1 −2 −1 2 1 −2 −1 2 Reste de 2n+++3nmod 5 2 0 3 0 2 0 3 0 (b) Conjecture :Sinest impair, alors le reste est 0. Sinon, sinest un multiple de 4, le
reste est 2 et sinon, le reste est 3.
(c) Soitn un entier naturel etk un autre entier naturel. Alors on remarque que 24 = 16≡1 [5] et 34=81≡1 [5]
2n+3n−2n+4k−3n+4k≡2n+3n−2n24k−3n34k[5]
≡2n+3n−2n¡ 24¢k
−3n¡ 34¢k
[5]
≡2n−2n+3n−3n[5]
≡0 [5]
2n+3n≡2n+4k+3n+4k[5]
On en déduit que∀n,k∈N, 2n+3net 2n+4k+3n+4k ont le même reste dans la div. eucl. par 5.
(d) On n’a donc que 4 cas possibles (les restes modulo 5 sont périodiques) et il suffit de regarder les premières colonnes du tableau :
Les restes modulo 5 sont 2, 0 ou−2.
(e) • Sin===0alors 20+30=1+1=2 donc le chiffre des unités est 2.
• Sin666===0, alors 3nest impair et 2nest pair donc 2n+3nest impair. Ainsi – Sinest impair, le chiffre des unités est 5.
– Sin≡0 [4], le chiffre des unités est 7.
– Sin≡2 [4], le chiffre des unités est 3.
4. 888≡0 [4] donc 2888+3888admet 7 comme chiffre des unités.
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