Pr : AHMED BARAHNA L’arithmétique dans N (tcs)
Exercice 1 :
Soit n un entier naturel.
1)Le nombre 1 + 3n est-il toujours pair ? 2) Démontrer que 2n + 2 n+1 est divisible par 3.
3) Démontrer que si n est impair alors 8 divise n 2-1 Montrer que A = n 2 + 3n + 2 est un nombre pair.
Exercice 12:
1) décomposer le nombre 28 en produit de facteurs premiers 2) déterminer tous les nombres entiers x et y tels que :
x2 –y2=28
Exercice 13 :
n un entier naturel
1) développer l’expression suivante : (n+1)2-n2
2) monter que tous les nombres impairs peuvent s’écrit sous la forme d’une différence de deux carrés consécutifs 3) écrire les nombres 39 et 31 sous la forme d’une différence de deux carrés consécutifs
Exercice 2 :
Soit n un entier naturel , Etudier la parité des nombres 2n+3 ;4n+2 ;2n2+5n+5 ;(n+1)(n+2)
Exercice 3 :
a et b deux entiers naturels impairs étudier la parité de a+b ; a-b ;ab
Exercice 14 :
n un entier naturel 1) Monter que le nombre1 ) 2 3
)(
3
( n
3 n
2 n n
3 n
2 n
est un carré parfait.2) Montrer que le nombre
n ( n 1 )( n 2 )( n 3 ) 1
est un carré parfait.Exercice 4 :
Soient n et m des multiples de a
Montrer que m+n ,m-n ,mn sont des multiples de a
Exercice 5 :
A et b deux nombres entiers tels que a=1008 et b=1620 1) décomposer les nombres a et b en produit de facteurs premiers
2) calculer PGCD(a ; b) et PPCM(a ; b) 3) simplifier les nombres :
b ab ; a
Exercice 15 :
Soit k un entier naturel1) Montrer que k(k+1) est un nombre pair Soit n un nombre impair
2) Montrer que 8 divise n2-1 3) déduire que 16 divise n4-1
Soient a et b deux entiers naturels impairs 4) Montrer que 8 divise a2+b2-6
Exercice 6 :
Soient a et b deux entiers tels que PGCD(a ; b)=18 1) déterminer tous les diviseurs communs de a et b 2) déterminer tous les facteurs premiers de a et b
3) sachant que ab=972 déterminer PPCM (a ; b), et déduire a et b
Exercice 16 :
Soit p un entier premier tel que
p 3
On pose2 1 2
1
p
b p et
a
1) vérifier que a et b sont des entiers naturels 2) calculer a2-b2 en fonction de p
3) Montrer que tous nombre premier peuvent s’écrit sous la forme d’une différence de deux carrés consécutifs
Exercice 7 :
1) déterminer tous les diviseurs de 15
2) déterminer tous les nombres entiers x et y tels que (x+3)(y+2)=15
3) déterminer tous nombres entiers tels que : xy+3x+y=12
Exercice 17 :
le nombre 4218 est-il divisible par les nombres 2 ; 4 ; 3 ; 5 ; 9
Exercice8
soit x un nombre supérieur ou égal à 2 . 1) Montrer que x 4+4=((x+1)2+1)((x-1)2+1) 2) Montrer que x 4 +4 n’est pas premier.
Exercice 18:
Soit n un entier naturel 1) vérifier que
1 2 9
1 11 2
n n
n
2) déterminer toutes les valeurs de n pour que
1 11 2
n n :
9 Exercice
Soit n un entiers naturel ,
n n
n n
b a
17 5 17 3
17 3 17 7
1 2
1) Montrer que a est un multiple de 101 et b est un multiple de 7
2) décomposer e et b en produits de facteurs premiers 3) calculer PGCD(a ;b ) et PPCM(a ;b )
Exercice 19 :
Soient les entiers a = 2352 et b = 14850.
1) Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
2) Donner le nombre de diviseurs de chacun des entiers
a
etb
.3) Déterminer aΛb et av b.
4) Déterminer le plus petit entier p tel que le nombre pa soit un carré parfait.
5) Déterminer le plus petit entier q tel que le nombre qb soit un cube parfait.
Exercice 10 :
a est un entiers naturel tel que a=288
1) décomposer a en produit de facteurs premiers 2) déterminer le plus petit nombre entier k tel que
ka soit un carré parfait .
Exercice20 :
Déterminer le chiffre a , pour que le nombre 23a4 soit divisible par 3 .
2) Déterminer les chiffres b et c , pour que le nombre 23b5c soit divisible par 5 et par 3 .
3) Déterminer le chiffre d , pour que le nombre 47d35 soit divisible par 3 et pas par 9 .
Exercice 11 :
a et b deux entiers naturels non nuls tels que : ab = av b.
Montrer que a et b sont premiers entre eux.
