MPSI 2 Semaine 3
Exercice 1
Démontrer que, pour tous nombres complexesz etz0, on a|z+z0|2+|z−z0|2= 2 |z|2+|z0|2. Exercice 2
Démontrer que, pour tous nombres complexesuetv,|u|+|v| ≤ |u+v|+|u−v|. Déterminer les couples(u, v)qui correspondent au cas où il y a égalité.
Exercice 3
Montrer :∀z∈C, |z|<12 =⇒ |(1 +i)z3+iz|<34. Exercice 4
Mettre sous forme algébrique puis trigonométrique le nombre complexe :z= −4 1 +i√
3. Calculerz3.
Exercice 5
Déterminer un argument du nombre complexe (−1 +i√ 3)4 (1−i)3 . Exercice 6
1. Soita un nombre réel de l'intervalle[0,2π[. Déterminer le module et, quand cela est possible, un argument du nombre complexe : 1 + cosa+isina.
2. On reprend la question précédente pour : 1 + sina+icosa 1 + sina−icosa. Exercice 7
Soientx∈R,θ∈Ret n∈N. Calculer les sommesS =
n
X
k=0
xkcoskxet T =
n
X
k=0
xksinkx. Exercice 8
Déterminer les racines carrées du nombre complexe :−7 + 24i. Exercice 9
Résoudre dansCles équations d'inconnuesz :
1)z2=−1 2)z2+z= 0 3) z2+z+ 1 = 0
4)z2−2 cosθz+ 1 = 0, oùθ est un réel xé 5) z2−2(2 +i)z+ 6 + 8i= 0 6)z2−e2iθz+isinθcosθe2iθ= 0,oùθ est un réel xé 7)16(z−1)2+ (z+ 1)2= 0 Exercice 10
On considère l'équation
z2−(2 +iα)z+iα+ 2−α= 0, α∈C
Montrer qu'il existe une valeurαpour laquelle les deux racines de l'équation sont complexes conjuguées.
Calculer alors les solutions.
Exercice 11
Quel est l'ensemble des pointsM du plan complexe dont l'axezvérie : z+ ¯z=|z|?
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MPSI 2 Semaine 3
Exercice 12
Déterminer les nombres complexesztels que z, 1
z et1−zaient le même module.
Exercice 13
Déterminer les racines cinquièmes complexes de (−1 +i√ 3)4 (1−i)3 . Exercice 14
1. Résoudre de deux façons surCl'équation :z4+z3+z2+z+ 1 = 0.
(On pourra introduire une nouvelle inconnue Z=z+1z et se ramener à résoudre une équation du second degré d'inconnue Z).
2. Déterminer des expressions algébriques des réelscos2π5 etsin2π5. Exercice 15
Soitnun entier naturel non nul, résoudre surCl'équation d'inconnuez : 1 + iz
n n
=
1−iz n
n . Exercice 16
1. Résoudre dansC r{i} l'équation z+i
z−i 2
+ z+i
z−i
+ 1 = 0
2. Soitn∈N∗, résoudre dansC r{i}l'équation z+i
z−i n
+ z+i
z−i n−1
+. . .+ z+i
z−i
+ 1 = 0
Exercice 17
Soitf l'application dénie par C → C
z 7→ z(1−z) . SoitD={z∈C/|z−12| ≤ 12}. Montrer queD est stable parf (i.e.∀z∈D, f(z)∈D).
Exercice 18
Déterminer l'ensemble des pointsM du plan complexe, d'axez, tels que le nombre complexe z+ 1−2i z+ 2 +i soit un nombre réel négatif.
Exercice 19
Soitaun nombre complexe tel que|a|= 1.
On notez1,z2,. . .,zn les racines de l'équationzn=a.
Montrer que les points du plan complexe dont les axes sont(1+z1)n,(1+z2)n,. . .,(1+zn)nsont alignés.
Exercice 20
Soientaet bdes nombres complexes etrun nombre réel strictement positif.
Déterminer, s'il existe, le plus grand élément de l'ensemble{|az+b|, |z| ≤r}. Exercice 21
Soienta,b,ctrois complexes de module1 tels quea6=c,b6=c. Montrer queargc−b
c−a =1 2argb
a [π].
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