Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion Examen de Math´ematiques pour l’ ´Economie et la Gestion (S3)
Session de juin 2007 Dur´ee : 1h30 — 1 page
Documents et appareils ´electroniques interdits
Exercice 1 —
(1) Soitq(x, y) =−5x2−y2+ 4xy. ´Ecrire la matrice associ´ee `a q et d´eterminer le signe de q.
(2) SoitA=
1 1
1 1
. ´Ecrire la forme quadratique sur R2 associ´ee `aA et d´eterminer son signe.
Exercice 2 — Soit la fonctionf :R2 →Rd´efinie par
f(x, y) =x4+y4+ 2x2y2−2x2+ 2y2. (1) D´eterminer les points critiques de f et leurs types.
(2) La fonction f est-elle convexe ?
Exercice 3 — Maximiser et minimiser la fonction
f(x, y) = 2x+y sous la contrainte
x2+y2 65.
(On admettra que la condition de qualification est v´erifi´ee.)
Exercice 4 — R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle y0(t) +ty(t) =t avec la condition initialey(0) = 1.
Exercice 5 —
(1) Mettre sous forme polaire le nombre complexe i+ 1. Le repr´esenter dans le plan.
(2) Calculer sous forme alg´ebrique et sous forme polaire le nombre complexe (i+1)2. Le repr´esenter dans le plan.
(3) Calculer sous forme alg´ebrique et repr´esenter dans le plan les racines carr´ees du nombre com- plexe−5 + 12i.
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