Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚2
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinition d’un nombre complexe inversible et de l’in- verse d’un tel (preuve de l’unicit´e de l’inverse d’un nombre complexe inversible) ; inversibilit´e et inverse d’un nombre complexe non nul (´enonc´e et preuve) ; calcul de l’inverse de 4−3i.
Question n˚ 2
D´efinition et interpr´etation g´eom´etrique du conjugu´e d’un nombre complexe ; propri´et´es alg´ebriques de la conjugaison complexe (´enonc´e et preuve) ; calculer la forme alg´ebrique de :
1−5i 3 + 2i. Question n˚ 3
D´efinition et interpr´etation g´eom´etrique du module d’un nombre complexe ; lien entre|z| et z, o`u z ∈ C (´enonc´e et preuve) ; d´eterminer le lieuC des pointsM d’affixez6= 1 +itels que :
z= 9
z−1−i+ 1−i puis le repr´esenter graphiquement.
Question n˚ 4
Pour tout z ∈ C, Re(z) ≤ |z| (preuve) ; pour tout z ∈ C, |1 +z| ≤ 1 +|z| (preuve) ; in´egalit´es triangu- laires (´enonc´e, preuve de l’in´egalit´e≪de droite≫) ; cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e ≪de droite≫ (´enonc´e). Si M est un point du plan situ´e sur le cercle de centre Ω(3−4i) et de rayon 1, montrer queOM ≤6.
Question n˚ 5
Pr´esentation du revˆetement ρ du cercle unit´e par la droite r´eelle ; d´efinition de cos(x) et sin(x) pourx∈R; expression de cos(π2 −x) et sin(π2 −x) en fonction de cos(x) et sin(x) pour x ∈ R, valeurs de cos(π4) et sin(π4) (´enonc´e et preuve), cas d’´egalit´e de deux cosinus (´enonc´e et explication graphique) ; r´esoudre l’´equation
cos(2x) =−1 2 d’inconnuex∈]−π, π].
Chap. 1 − Nombres complexes et trigonom´ etrie
• D´efinition d’un nombre complexe et de la forme alg´ebrique d’un tel.
• Partie r´eelle et partie imaginaire d’un nombre complexe.
• Caract´erisation des r´eels parmi les complexes via la partie imaginaire.
• Caract´erisation des imaginaires purs parmi les complexes via la partie r´eelle.
• Point du plan M(z) associ´e `a un nombre com- plexez, affixezM d’un point du planM, identi- fication deCavec le plan usuel (un rep`ere ortho- norm´e ´etant fix´e).
• Addition et multiplication dansC.
• Propri´et´es de l’addition et de la multiplication dansC.
• Nombre complexe inversible et inverse d’un tel.
• Inversibilit´e et inverse d’un nombre complexe non nul.
• Cest int`egre.
• D´efinition de la conjugaison complexe et in- terpr´etation g´eom´etrique.
• Retrouver la partie r´eelle (resp. imaginaire) `a partir du conjugu´e.
• Caract´erisation des r´eels via la conjugaison com- plexe.
• Caract´erisation des imaginaires purs via la conju- gaison complexe.
• Affixe d’un vecteur, d’un bipoint, vecteur ayant pour affixe un nombre complexe donn´e.
• D´efinition du module d’un nombre complexe et interpr´etation g´eom´etrique.
• Equation complexe d’un cercle.´
• Equation complexe d’un disque (ferm´e).´
• Pour toutz∈C,|z|2=z z.
• Propri´et´es alg´ebriques du module.
• In´egalit´e triangulaire et cas d’´egalit´e.
• Propri´et´e de s´eparation du module.
• D´efinition du cercle unit´e, d´efinition du nombre π.
• Revˆetement du cercle unit´e par la droite r´eelle, d´efinition du cosinus et du sinus d’un nombre r´eel.
• Relation de Pythagore.
• D´efinition des fonctions cosinus et sinus et pro- pri´et´es d’icelles (parit´e et p´eriodicit´e).
• Effets de quelques transformations affines sur co- sinus et sinus (e.g.x7→ π2 −x).
• Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
• Cas d’´egalit´e de deux cosinus (resp. de deux si- nus).
• Exemples de r´esolutions d’´equations et d’in´equations trigonom´etriques.
• D´efinition de l’ensemble U des nombres com- plexes de module 1.
• Propri´et´es alg´ebriques des nombres complexes de module 1.
