Chapitre 1 G´eom´etrie plane - m´etrique

Chapitre 1

G´ eom´ etrie plane - m´ etrique

1.1 Solutions des exercices

1.1.1 Produit scalaire

1) L’implication est fausse.

2) a) −→AI·−→AB = 0 b) −→AJ ·−→AB = 50 c) −JI→·−→AB =−50 d) −→AB·−→BA =−100 e) −→AB ·−→AA= 0 f) −→AJ·−→AC = 66 g) −IJ→·−−→BD =−42

5) a) −→u · −→v = 5 b) −→u · −→w =−2 c) −→u · −→u = 13 d) −→u ·(−→v +−→w) = 3 e) −→a ·−→b =−20

f) ||−→u||=√

13 g) ||−→v||=√

17 h) ||−→w||= 1 i) || − −→u||=√

13 j) ||−→u +−→v||=√

40 k) ||−→a||=√ 20 6) −→v = ^√1₁₇−→i −^√417

−

→j

7) Aire : ¹²⁵2

8) a) −→BA·−−→BC =−4,24 b) −→AB·−−→BC = 4,24 c) −→AB·−→AC = 8,24 d) −→CA·−−→CB = 13,24 9) −→CA·−−→BC =−88

1.1.2 Applications du produit scalaire

1) d :−4x+ 5y−5 = 0

3

Math´ematiques, MAT-MAB 2^`eme ann´ee 1. G´eom´etrie plane - m´etrique

2) mAB : 4x+ 3y− ³⁷2 = 0 3) ha :x+y−1 = 0

4) a) G(²3;¹¹3), H(−¹⁴³¹⁶;⁸⁷8), Ω(¹⁷⁵32;16¹) 5) P(²⁶5;³5)

6) A^′(7;−3) 7) 128,33^◦

8) α = 45^◦, β = 108,43^◦, γ = 26,57^◦ 9) 67,38^◦

10) axe des ordonn´ees : 45^◦, droite g : 30,96^◦ 11) 13

12) 1) P´erim`etre : 27,58

2) Longueur hauteur : 8,25 3) Aire : 35,5

13) E ={M(x;y)∈R² | 3x−4y−51 = 0 ou 3x−4y+ 29 = 0} 14) C1(¹⁴⁰11;⁹⁵11), C2(⁷⁰11;¹³⁰11)

15) Axes de sym´etries : a: 19x−399y−540 = 0 et a^′ : 189x+ 9y−2580 = 0 16) 1) bA: 2x+ 3y−6 = 0, bB : 8x−y−24 = 0, bC :x−2y−3 = 0

2) Ω(3; 0) 3) r= 4

1.1.3 Le cercle

1) 1) x²+y²−9 = 0

2) x²+y²−12x+ 16y = 0 2) x²+y²−2x−8y+ 9 = 0

3) 1) Ω(−3; 0), r = 5 2) Ω(−3; 4), r = 5

3) Ω(−3; 4), r = 3 4) −

5) − 6) Ω(⁹4;−1),r = 3,17

4) f : [−2; 2] → [0; 2]

x 7→ y=√ 4−x² 5) a) f : [−3; 3] → [5; 8]

x 7→ y= 5 +√

36−x²

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Math´ematiques, MAT-MAB 2^`eme ann´ee 1. G´eom´etrie plane - m´etrique

b) g : [−3; 3] → [5; 2]

x 7→ y= 5 +√

36−x² 6) x²+y⁴−4x−8y+ 10 = 0

7) (x− ¹⁷⁵32)²+ (y− 16¹ )² = 65,16 8) (x−3)²+y² = 4

9) 1.1)

( x = 3 cos(t)

y = 3 sin(t) 1.2)

( x = 6 + 10 cos(t) y = −8 + 10 sin(t) 2)

( x = 1 +√

8 cos(t) y = 4 +√

8 sin(t) 10) t : 3x−4y+ 43 = 0

11) t¹ : 2x+y−8 = 0, t² :−x+ 2y−11 = 0 12) t¹ : 2x+y−1 = 0, t² : 2x+y+ 19 = 0 13) (x−1)²+ (y+ 1)² = 4

14) x²+y²−8x−4y−6 = 0

15) C1 : (x−29)²+ (y+ 2)² = 800, C2 : (x+ 6)²+ (y−3)² = 50 16) 1) Deux points d’intersection

2) I¹(1;−5), I²(7; 3) 17) I(3; 1)

18) 1) Deux points d’intersection 2) I1(−1;−1) ; I2(−³⁵;−⁴⁵)

19) Pas de point d’intersection (c^′ `a l’int´erieur de c) 20) 1) P(0,72;−0,12)

2) P(−⁷2;⁵₄) 21) 1) 79,7^◦

2) 18,42^◦ 26) 1) A l’int´erieur

2) Aire : 47,32

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