De la g´eom´etrie algorithmique au calcul g´eom´etrique l’exemple de la triangulation de Delaunay

De la g´eom´etrie algorithmique au calcul g´eom´etrique

l’exemple

de la triangulation de Delaunay

Les grands classiques

G´eom´etrie algorithmique Probl`eme g´eom´etrique Analyse des performances

Borne inf´erieure Borne sup´erieure

Complexit´e asymptotique Analyse dans le cas le pire Analyse en moyenne

Borne inf´erieure pour

la triangulation de Delaunay

Ω (f(n))

r´esolvant toutes

les instances du probl`eme avec moins de f(n) op´erations

d’algorithme Il n’existe pas

Borne inf´erieure pour le tri

Borne inf´erieure pour le tri

Trier ⇐⇒ trouver une permutation

Borne inf´erieure pour le tri

Trier ⇐⇒ trouver une permutation

Ordre 6= =⇒ ex´ecution 6=

Borne inf´erieure pour le tri

Arbre des executions

d´ecision

resultat (permutation)

Borne inf´erieure pour le tri

Arbre des executions Arbre binaire

n! feuilles

hauteur ≥ log₂ n! ' n log n

Borne inf´erieure pour le tri

Ω(n log n)

Borne inf´erieure pour Delaunay

Delaunay sert `a trier

Borne inf´erieure pour Delaunay

Delaunay sert `a trier

Prendre un probl`eme de tri

Supposer que l’on sait faire Delaunay Utiliser Delaunay pour trier

Borne inf´erieure pour Delaunay

x₁, x₂, . . . , x_n `a trier

x_i

Borne inf´erieure pour Delaunay

x₁, x₂, . . . , x_n `a trier

x_i

(x_i, x²_i)

(x₁, x²₁), . . . ,(x_n, x²_n) n points

Borne inf´erieure pour Delaunay

x₁, x₂, . . . , x_n `a trier

x_i

(x₁, x²₁), . . . ,(x_n, x²_n) n points

Delaunay

ordre en x

Borne inf´erieure pour Delaunay

x₁, x₂, . . . , x_n `a trier

x_i

(x₁, x²₁), . . . ,(x_n, x²_n) n points

Delaunay

ordre en x

O(n)

O(n) f(n)

O(n) + f(n) ∈ O(n log n)

Borne inf´erieure pour Delaunay

x₁, x₂, . . . , x_n `a trier

x_i Ω(n log n)

Algorithmes optimaux pour la triangulation de Delaunay

Produire des algorithmes optimaux

Complexit´e asymptotique Dans le cas le pire

Algorithme de balayage Division-fusion

Algorithmes optimaux pour la triangulation de Delaunay

Balayage

Couper le probl`eme 2D par un objet 1D D´eplacer l’objet

Voronoi [Fortune]

Pr´esentation duale sur Delaunay Balayage

Dessiner une arˆete quand elle est sure

Ev`enements cercle´

Front de balayage

q p

r

t

Ev`enement cercle´

q p

r

t

Ev`enement cercle´

q p

r

t

Ev`enement cercle´

q p

r

t

Ev`enement cercle´

q p

r

t

Ev`enement cercle´

Triangulation Evenements´

Front

+ 1 triangle +1 arˆete

- 1 cercle -2 cercles ?

2 arˆetes → 1 arˆete +2 cercles ?

q p v

u

Ev`enement point´

q p v

u

Ev`enement point´

q p v

u

Ev`enement point´

q p v

u

Ev`enement point´

q p v

u

Ev`enement point´

Triangulation Evenements´

Front

+ 1 sommet +1 arˆete

- 1 point -1 cercle1 ?

+ 2 arˆetes +2 cercles ?

Front de balayage

Front de balayage

Front de balayage Localisation

Front de balayage

Algorithme de balayage Complexit´e

Triangulation Front

O(n) (taille) O(n) (taille)

O(n) (taille)

O(logn) insertion, suppression, requˆete

O(logn) insertion, suppression, requˆete

O(n log n) Ev`enements´

Pr´edicats

p₁ q₁

r₁ = p₂

q₂

r₂ 6 points

polynˆome de degr´e 24

Pr´edicat : cercle le plus `a droite

Pr´edicats

p₁

q p₂

3 points

polynˆome de degr´e ??

Pr´edicat : q dessus/dessous ?

Algorithmes optimaux pour la triangulation de Delaunay

Dualit´e

Rappel

Π : x² + y² = z

Rappel

p = (x_p, y_p) p^? = (x_p, y_p, x²_p + y_p²)

Rappel

C : x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 C^† : z − 2ax − 2by + c = 0

Rappel

p ∈ C

p^? au dessous de C^†

Rappel

p 6∈ C

p^? au dessus de C^†

Rappel

p ∈ ∂C p^? ∈ C^†

Rappel

Pr´edicat d’orientation 3D

Pr´edicat de cocyclicit´e

Delaunay et enveloppe convexe

Complexit´e

Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

pas localement Delaunay Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

pas localement Delaunay pas convexe

Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

pas convexe

Flip

Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

pas convexe

Flip

on colle un t´etrah`edre Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

pas convexe

Flip

Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

pas convexe

Flip

Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

pas convexe

Flip

Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

Flip

on colle un t´etrah`edre Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

Flip

on colle un t´etrah`edre

Une arˆete bascul´ee n’est jamais reconstruite

(les nouvelles arˆetes sont toujours dessous)

Retour sur la bascule de diagonales

Complexit´e

Une arˆete bascul´ee n’est jamais reconstruite

(les nouvelles arˆetes sont toujours dessous)

Algorithme en O(n²)

Retour sur la bascule de diagonales

Algorithmes optimaux pour la triangulation de Delaunay

Division-Fusion

Division-Fusion

Technique classique exemple: tri Probl`eme de taille n

2 sous-probl`emes de taille ⁿ₂ r´esolution r´ecursive

fusion

Division-Fusion

O(n)

Probl`eme de taille n

r´esolution r´ecursive fusion

2 sous-probl`emes de taille ⁿ₂

O(n)

2 · f(ⁿ₂) f(n)

Division-Fusion

O(n)

Probl`eme de taille n

r´esolution r´ecursive fusion

2 sous-probl`emes de taille ⁿ₂

O(n)

2 · f(ⁿ₂) f(n)

f(n) = O(n) + 2f(ⁿ₂)

Division-Fusion

f(n) = O(n) + 2f(ⁿ₂) f(n) =

log₂ n f(n) = O(n log n)

n + 2f(ⁿ₂)

n + 2 ⁿ₂ + 2f(ⁿ₄)^!

n + 2 ⁿ₂ + 2 ⁿ₄ + 2f(ⁿ₈)^!!

n + 2ⁿ₂ + 2.2ⁿ₄ + . . .

Division

O(n)

Fusion facile !

Partition ´equilibr´ee

Division

O(n)

Fusion facile !

Partition ´equilibr´ee

Partition par une droite

Droite m´ediane M´edian lin´eaire ? Pr´etraitement

Division

Division

Tri en x

Division

Tri en x

tous les m´edians

Triangles monocolores `a ´eliminer

Triangles bicolores `a construire

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

Construction des arˆetes bicolores du haut vers le bas

suivante ?

p

p r b

p r_next

premier rouge rencontr´e par le faisceau de cercles

p

b_next

premier bleu rencontr´e par le faisceau de cercles

p

On garde le meilleur des deux

p r b

premier rouge rencontr´e par le faisceau de cercles

p r b

premier rouge rencontr´e par le faisceau de cercles

r₁ r₂

r₂ ∈ Cercle(b, r, r₁)

p r b

premier rouge rencontr´e par le faisceau de cercles

r₁ r₂

r₃

r₃ ∈ Cercle(b, r, r₂)

p r r₄ b

premier rouge rencontr´e par le faisceau de cercles

r₁ r₂

r₃

r₄ ∈ Cercle(b, r, r₃)

p r r₄ b

premier rouge rencontr´e par le faisceau de cercles

r₁ r₂

r₃ r₅

r₅ 6∈ Cercle(b, r, r₄)

p r r₄ b

premier rouge rencontr´e par le faisceau de cercles

r₁ r₂

r₃ r₅

= r_next

r₅ 6∈ Cercle(b, r, r₄)

∀rouge, rouge 6∈ Cercle(b, r, r₄)

p r b

premier bleu rencontr´e par le faisceau de cercles

r_next

p r b

premier bleu rencontr´e par le faisceau de cercles

b₂ b₂ ∈ Cercle(b, r, b₁)

r_next

b₁

p r b

premier bleu rencontr´e par le faisceau de cercles

b₂ b₃

b₃ 6∈ Cercle(b, r, b₂)

r_next

b₁

p r b

premier bleu rencontr´e par le faisceau de cercles

b₂ b₃ b_next =

b₃ 6∈ Cercle(b, r, b₂)

∀bleu, bleu 6∈ Cercle(b, r, b₂) r_next

b₁

p r b

b_next

r_next

p r b

b_next

r_next pas de points

p r b

b_next

r_next pas de rouges

p r b

b_next

r_next pas de bleus

p r b

b_next

r_next pas de rougespas de pointspas de bleus

p r b

b_next

r_next

p r b

p r

b r_next

p r b

b_next

p r b

r p b

r_next r p b

r p b

b_next

r p b

r p b

r_next r

p b

r p b

r p b

b_next

r p b

Complexit´e

Complexit´e

A chaque ´etape de la recherche de r_next

Complexit´e

A chaque ´etape de la recherche de r_next

On efface une arˆete rouge

Complexit´e

A chaque ´etape de la recherche de r_next

On efface une arˆete rouge

A chaque ´etape de la recherche de b_next

Complexit´e

A chaque ´etape de la recherche de r_next

On efface une arˆete rouge

A chaque ´etape de la recherche de b_next

On efface une arˆete bleue

Complexit´e

A chaque ´etape de la recherche de r_next

On efface une arˆete rouge

A chaque ´etape de la recherche de b_next

On efface une arˆete bleue

Choisir entre r_next et b_next

Complexit´e

A chaque ´etape de la recherche de r_next

On efface une arˆete rouge

A chaque ´etape de la recherche de b_next

On efface une arˆete bleue

Choisir entre r_next et b_next

On trace une arˆete noire

Complexit´e

Complexit´e ≤

+] arˆetes bleues +] arˆetes noires ] arˆetes rouges

Complexit´e

Complexit´e ≤

+] arˆetes bleues +] arˆetes noires ] arˆetes rouges

≤ 3n + 3n = O(n) Division-Fusion =⇒ O(n log n)

Division

Division

Division

Division

Fusion Division

Fusion Division

Fusion Division

Fusion Division

Fusion Division

Division

Division

Division

Division

Fusion Division

Fusion Division

Fusion Division

Fusion Division

Fusion Division

Complexit´e

Complexit´e

Fusion

Complexit´e

Fusion O(n)

Complexit´e

Fusion O(n)

Division ?

Complexit´e

Fusion O(n)

Division ? m´edian ?

Complexit´e

Fusion O(n)

Division ? m´edian ? plus difficile

Complexit´e

Fusion O(n)

Division ? m´edian ? O(n)

Complexit´e

Fusion O(n)

Division ? m´edian ? O(n)

Points al´eatoires O(√

n)

O(1)

f(n) = O(√

n) + 2f(ⁿ₂) f(n) =

log₂ n

f(n) = O(n)

√n + 2f(ⁿ₂)

√n + 2^rn₂ + f(ⁿ₄)

√n + 2^rn₂ + 2 ^rn₄ + f(ⁿ₈)

√n + 2^rn₂ + . . . + ⁿ₂√

2 + n√ 1

f(n) ≤ n + 2⁻¹²n + . . . + 2⁻²ⁱn + . . .

M´edian lin´eaire

M´edian lin´eaire

n nombres

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire des paquets de 5

M´edian lin´eaire m´edian de 5

M´edian lin´eaire m´edian de 5

M´edian lin´eaire m´edian de 5

M´edian lin´eaire m´edian de 5

M´edian lin´eaire m´edian de 5

M´edian lin´eaire m´edian de ⁿ₅

M´edian lin´eaire m´edian de ⁿ₅

M´edian lin´eaire

M´edian lin´eaire

plus petits

M´edian lin´eaire

plus petits plus grands

M´edian lin´eaire

plus petits plus grands

entre ₁₀³ et ₁₀⁷

M´edian lin´eaire m´edian de ⁿ₅

M´edian lin´eaire

M´edian lin´eaire plus petits

M´edian lin´eaire plus petits

plus grands

f(n) = O(n) + f(ⁿ₅) + f(⁷ⁿ₁₀) f(n) =

f(n) = O(n) n + f(ⁿ₅) + f(⁷ⁿ₁₀)

n + ₁₀⁹ n +₁₀^{9 2}n +f(. . .) + f(. . .) + . . .

f(n) ≤ 10nα

n + ⁿ₅ + ⁷ⁿ₁₀ +f(₂₅ⁿ ) + f(⁷ⁿ₅₀) + f(⁷ⁿ₅₀) + f(⁴⁹ⁿ₁₀₀)

f(n) = O(n) + f(ⁿ₅) + f(⁷ⁿ₁₀) f(n) =

f(n) = O(n) n + f(ⁿ₅) + f(⁷ⁿ₁₀)

n + ₁₀⁹ n +₁₀^{9 2}n +f(. . .) + f(. . .) + . . .

f(n) ≤ 10nα

n + ⁿ₅ + ⁷ⁿ₁₀ +f(₂₅ⁿ ) + f(⁷ⁿ₅₀) + f(⁷ⁿ₅₀) + f(⁴⁹ⁿ₁₀₀)

α m´edian de 5 s´eparation

f(n) = O(n) + f(ⁿ₅) + f(⁷ⁿ₁₀) f(n) =

f(n) = O(n) n + f(ⁿ₅) + f(⁷ⁿ₁₀)

n + ₁₀⁹ n +₁₀^{9 2}n +f(. . .) + f(. . .) + . . .

f(n) ≤ 10nα

n + ⁿ₅ + ⁷ⁿ₁₀ +f(₂₅ⁿ ) + f(⁷ⁿ₅₀) + f(⁷ⁿ₅₀) + f(⁴⁹ⁿ₁₀₀)

α m´edian de 5 s´eparation

log₂(5!) = 7

C’est tout pour aujourd’hui