Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 2`eme ann´ee Objectifs g´eom´etrie vect. et ana. du plan
Objectifs : g´ eom´ etrie vectorielle et analytique du plan - m´ etrique, g´ eom´ etrie
A la fin de ce cours (et pour r´eussir l’´epreuve sur celui-ci), vous devriez ˆetre capable de : 1. D´efinir, illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire li´e au chapitre trait´e :
– produit scalaire (d´efinition, expression analytique, expression g´eom´etrique), norme, vecteur unit´e, vecteur orthogonal,
– droites perpendiculaires, angle de deux vecteurs, angle de deux droites, distance entre deux points, distance entre un point et une droite, bissectrice, m´ediatrice, m´ediane, hauteur,
– cercle, centre, rayon, tangente, point de tangence, position relative d’une droite et d’un cercle, position relative de deux cercles.
1. Produit scalaire
2. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~v, ~u ·~v, ainsi que la norme d’un vecteur w~, kw~k, dans une base quelconque de V
2 (d´efinition et expression g´eom´etrique) et dans une base orthonorm´ee deV
2 (expression analytique).
Exercice(s) : 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.6; 1.7; 1.9; 1.10; 1.11
3. Enoncer les propri´et´es du produit scalaire de deux vecteurs et de la norme d’un vecteur.
Exercice(s) : 1.1; 1.5
4. D´eterminer un vecteur unit´e colin´eaire ou orthogonal `a un vecteur donn´e.
Exercice(s) : 1.7; 1.8
5. D´eterminer si deux vecteurs ou deux droites sont perpendiculaires et construire un vecteur (ou une droite) perpendiculaire `a un vecteur (respectivement `a une droite) donn´e.
Exercice(s) : 1.12; 1.13; 1.14; 1.15; 1.16; 1.17; 1.18; 1.19; 1.20; 1.21
2. Applications du produit scalaire
6. Calculer l’angle de deux vecteurs ou de deux droites.
Exercice(s) : 2.1; 2.2; 2.3; 2.4; 2.5
7. Calculer la distance entre deux points ou entre un point et une droite.
Exercice(s) : 2.6; 2.7; 2.8; 2.11; 2.12; 2.13; 2.14; 2.19
8. Etablir les ´equations param´etriques ou cart´esiennes des bissectrices de deux droites s´ecantes (et choix si une seule est demand´ee) et de la m´ediatrice d’un segment.
Exercice(s) : 2.9; 2.10; 2.15; 2.16; 2.17; 2.18; 2.19; 2.20
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3. Le cercle
9. D´eterminer l’´equation cart´esienne, l’´equation cart´esienne d´evelopp´ee et les ´equa- tions param´etriques d’un cercle en connaissant les coordonn´ees de son centre et son rayon.
Exercice(s) : 3.1; 3.2; 3.4; 3.5; 3.6; 3.9; 3.13; 3.14
10. D´ecider si une ´equation peut ˆetre l’´equation cart´esienne d’un cercle.
Exercice(s) : 3.3
11. Retrouver les coordonn´ees du centre et le rayon d’un cercle d’apr`es son ´equation cart´esienne, son ´equation cart´esienne d´evelopp´ee ou ses ´equations param´etriques.
Exercice(s) : 3.3
12. Ecrire les ´equations cart´esiennes du cercle circonsccrit `a un triangle et du cercle inscrit dans ce triangle.
Exercice(s) : 3.7; 3.8
13. Etablir l’´equation de la tangente `a un cercle en connaissant le point de tangence ou un point quelconque de la droite ou sa direction.
Exercice(s) : 3.11; 3.12; 3.13; 3.14; 3.15; 3.16
14. D´eterminer la position relative d’une droite et d’un cercle ainsi que leurs ´eventuels points d’intersection.
Exercice(s) : 3.9; 3.10; 3.19
15. D´eterminer la position relative de deux cercles ainsi que leurs ´eventuels points d’intersection.
Exercice(s) : 3.17; 3.18
16. Calculer l’angle d’intersection d’une droite et d’un cercle ou de deux cercles.
Exercice(s) : 3.20
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