G´ eom´ etrie vectorielle analytique - Exercices

G´ eom´ etrie vectorielle analytique - Exercices

Exercice 1 Soit dans un rep`ere les points A(−1; 1), B(2; 3), C(−2;−4) et D(1;−2).

Montrer de deux mani`eres diff´erentes que le quadrilat`ere ABDC est un parall´elogramme.

On suppose de plus que le rep`ere est orthonorm´e. Calculer AB, BC, CD etDA. Exercice 2 Soit dans un rep`ere A(2; 3), B(−5; 7) et C(3;−12).

D´eterminer les coordonn´ees des vecteurs −→AB, −−→BC, −→AC, et ~u=−→AB+−−→BC. Que retrouve-t-on ?

Exercice 3 Soit dans un rep`ere A(3; 4), B(12; 6) et C(−2; 1).

D´eterminer les coordonn´ees du point D tel que ABDC soit un parall´elogramme.

Exercice 4 Soit dans un RON les points A(−2; 1) et B(4; 1) et le cercle C de diam`etre [AB].

D´eterminer les points de C d’ordonn´ee 3.

Exercice 5 Tracer les droites D1 :y= 3x−2 et D2 :y=−2x+ 1.

Exercice 6 Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont colin´eaires.

a)~u(2;−3) et ~v

−1;3 2

. b)~u 1

2;1 3

et~v

4 5;3

3

. c)~u√ 2;√

3 et~v

−2;−√ 6

. Exercice 7 Dans un rep`ere, soit les vecteurs ~u(2; 3),~v(−4; 6) etw~(−4; 3).

Le vecteur ~z = 2~u−3~v est-il colin´eaire au vecteur w~?

Exercice8 Dans chaque cas, d´eterminer le r´eelmpour que les deux vecteurs~uet~vsoient colin´eaires.

a)~u(2; 6) et~v(m; 3). b)~u(27; 2m) et~v(2m; 3). c)~u(2m; 3m) et~v(−2; 3m) Exercice 9 Dans un rep`ere, on donne les points : A(−2; 1) ; B(3; 3) ; C

1;11

5

; D 45

2 ;54 5

. a) D´emontrer que les points A, B et C sont align´es.

b) Les points A, B etD sont ils align´es ?

Exercice 10 Dans un rep`ere (O;~i,~j), on donne les points A(−2; 3), B(4; 7) etC(3; 2).

1. D´emontrer que les droites (AB) et (OC) sont parall`eles.

2. M(x; 0) est un point de l’axe des abscisses. Calculer x pour que A, B etM soient align´es.

Exercice 11 Dans un rep`ere (O;~i,~j), on donne les points A(−3; 2) et B(−1; 7).

Le point M

−6;−11 2

est-il un point de (AB) ?

Exercice 12 Donner une ´equation cart´esienne de la droite d d’´equation y= 2 3x− 1

5. Exercice 13 Dans chacun des cas, dire si les droites d et d^′ sont parall`eles :

1. Les droites det d^′ ont pour ´equations 2x−3y+ 67 = 0 et 8x−12y+ 0,3 = 0.

2. Les droites det d^′ ont pour ´equations x− 4

7y+ 2 = 0 et 5

3x−y+ 3 = 0.

3. d a pour vecteur directeur ~u= −9

2 ~i+ 3~j et d^′ a pour ´equation 2x+ 3y−3 = 0.

Exercice14 D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite dpassant parA(−2; 5) et de vecteur directeur~u= (2; 3).

Exercice 15 On donne les points A(1;−1) et B(3; 2). D´eterminer une ´equation de la droite d passant par A etB.

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Exercice 16 D´eterminer une ´equation de la droite d passant par le point A(−5; 3) et qui a pour coefficient directeur m= 2

3.

Exercice 17 Dans un rep`ere (0;~i,~j), on donne les pointsA(1; 5),B(−3; 2) et C(5;−1).

1. D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droitedpassant parAet de vecteur directeur~u(3; 1).

2. D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite d^′ passant par A et parall`ele `a (BC).

Exercice 18

1. D´emontrer que les droites d’´equations respectives 5x−2y−4 = 0 ety=−2,5x+ 0,5 ne sont pas parall`eles.

2. Tracer ces droites dans un rep`ere (O;~i,~j).

3. Quelles sont les coordonn´ees de leur point d’intersection ?

Exercice 19 Pour quelle valeur du nombrem, les droitesd etd^′ d’´equations respectives 3x+y= 0 et (2m−1)x+ (m−3)y−1 = 0 sont-elles parall`eles ?

Exercice 20

1. Les vecteurs ~u 2√ 3; 3

et~v(4; 2√

3) sont-ils colin´eaires ?

2. Le point A(6; 3) est-il un point de la droite d: 2x−5y+ 3 = 0 ?

3. D´eterminer une ´equation de la droitedpassant par le pointA(0; 2) et de coefficient directeur 3.

4. D´eterminer une ´equation de la droited passant par A(1; 5) etB(−102;−201).

5. La droite d passant par les points A(−3; 22) et B(112;−553) est-elle parall`ele `a la droite d^′ dont le coefficient directeur vaut −5 ?

6. La droite d a pour ´equation 2x−3y+ 5 = 0. Quelle est son ordonn´ee `a l’origine ?

7. La droiteda pour ´equation 2x−3y+5 = 0. D´eterminer les coordonn´ees des points d’intersection de la droite d avec les axes du rep`ere.

8. Soit la droite d d’´equation 3y−x+ 1 = 0. Donner un point et un vecteur directeur de d.

9. Trouver une ´equation de la droite ∆ passant par le point A(−1; 4) et parall`ele `a la droite d d’´equation 3x−2y+ 1 = 0.

10. Trouver une ´equation de la droitedpassant par le pointC(3; 2) et parall`ele `a la droitedpassant par les points A(−1; 5) etB(2;−2).

Exercice 21 Soit ∆ la droite passant par le point M(1;−1) et de vecteur directeur~u(1; 3). Soit de plus les pointsA(8; 7) etB(−2; 3).

La droite ∆ passe-t-elle par le milieu I de [AB] ?

Exercice 22 Dans chacun des cas suivants, dire si les droitesdetd^′ sont confondues, parall`eles dis- tinctes ou s´ecantes. Si ces droites sont s´ecantes, calculer les coordonn´ees de leur point d’intersection.

a)

2x−y+ 5 = 0

3x−5y+ 6 = 0 b)

( 8x+ 2y+ 6 = 0 3x+ 3

4y−5 = 0 c)

( x+ 3y−6 = 0 1

3x+y−2 = 0

Exercice 23 V´erifier que ~u et ~v ne sont pas colin´eaires, et d´eterminer des r´eels a et b tels que

~

w=a~u+b~v.

1. ~u(3;−1) ;~v(1; 4) ; w(5; 7).~ 2. ~u

1 2;−3

4

;~v(−4; 1) ; w(~ −2; 4).

Exercice 24 Dans un rep`ere (O;~i,~j), la droite d1 passe par le point A(4; 3) et a pour vecteur directeur~u(3; 2). La droite d2 passe par le point B(6; 0) et a pour vecteur directeur~v(2;−1).

d3 est une droite passant par C(4;−2) et w~ est un de ses vecteurs directeurs.

D´emontrer qued1,d2 etd3 sont concourantes si et seulement si w~ est colin´eaire au vecteur 4~i−9~j. Y. Morel -xymaths.free.fr G´eom´etrie vectorielle analytique - Exercices - 1^`ereS - 2/2