TS 8 Interrogation 10A : Correction 19 janvier 2016 Exercice 1 :
ABCD est un t´etra`edre pos´e sur la face BCD. On place I milieu de [BC], J sur [AC] tel que −→
AJ =
1 3
−−→ AD
On d´efinit le rep`ere
B;−−→ BC;−−→
BD;−−→ BA
.
D
B C
A
1. Donner les coordonn´ees deA,B,C,D, puis d´eterminer par le calcul les coordonn´ees deI etJ.
Solution: B(0; 0; 0),C(1; 0; 0),D(0; 1; 0) etA(0; 0; 1).
I 0 + 1
2 ;0 + 0 2 ;0 + 0
2
doncI 12; 0; 0 PosonsJ de coordonn´ees (x;y;z).
On a −→
AJ(x;y;z−1) et−−→
AD(0; 1;−1).
−→AJ = 13−→
AC⇔
x= 0 y= 13 z−1 =−13
⇔J(0;13;23).
2. D´eterminer une repr´esentation param´etrique du plan (BCD).
Solution: (BCD) est le plan d’origine B(0; 0; 0), de plus −−→
BC(1; 0; 0) et
−−→BD(0; 1; 0) ne sont pas colin´eaires, ils dirigent donc le plan.
M(x;y;z)∈(BCD)⇔−−→
BM =t−−→
BC+t0−−→
BD, avect, t0 r´eels
⇔
x=t y=t0 z= 0
Exercice 2 :
Soit (O;~i;~j;~k) un rep`ere. Dans ce rep`ere, on d´efinit les pointsA(3;−2; 1) etB(−1; 2;−1).
1. D´eterminer une repr´esentation param´etrique de (AB).
Solution: M(x;y;z)∈(AB)⇔−−→
AM=t−−→
AB, avect∈R
x−3 =−4t y+ 2 = 4t z−1 =−2t
, t∈R⇔
x= 3−4t y=−2 + 4t z= 1−2t
, t∈R
2. Soit dde repr´esentation param´etrique :
x= 2 +t y= 1−3t z=t
, t ∈ R. A est-il sur cette droite ?
Solution: R´esolvons
3 = 2 +t
−2 = 1−3t 1 =t
⇔
t= 1 t= 1 t= 1
. A appartient donc `a d avect= 1.
3. On d´efinitd0 :
x=−t y= 1 +t z= 3−t
. ´Etudier les positions des droites d0 et (AB). Donner s’il existe le point d’intersection des droites.
Solution: Un vecteur directeur ded0 estu(−1; 1;−1) qui n’est pas colin´eaire avec−−→
AB. Les droites ne sont donc pas parall`eles.
M ∈ (AB)∩ d0 ⇔
3−4t=−t0
−2 + 4t= 1 +t0 1−2t= 3−t0
⇔
t0= 4t−3
−2 + 4t−4t+ 3 = 1 1−2t−3 + 4t= 3
⇔
t0 = 7 1 = 1 t=52
.
Les droites sont s´ecantes au pointM de coordonn´ees (−7; 8;−4).
