2nd10 DS 1 Correction : Rep´erages et ´equations 25 septembre 2018
Exercice 1 : Cours (5 minutes) (2 points)
On munit le plan d’un rep`ere orthonorm´e. Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points du plan. Rappeler les formules permettant de calculer
(1) les coordonn´ees xM etyM du milieu de [AB]. (2) La distance AB
Solution: Voir le cours
Exercice 2 : ´Equations (15 minutes) (5 points)
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes
(1) 5x+ 7 = 0 (2) (x−2)(x+ 3) = 0 (3) x2+ 3x= 0 (4) 2x2−8x=−8 Solution:
(1) La solution est−75
(2) Les solutions sont 2 et−3 (3) Les solutions sont 0 et−3
(4) 2x2−8x=−8 ssi 2x2−8x+ 8 = 0 ssi 2(x−2)2 = 0.
La solution est 2.
Exercice 3 : Rep´erages (15 minutes) (7 points)
On se donne le rep`ere orthonorm´e (O;I;J) ci-contre.
(1) a. Lire les coordonn´ees des points A,B etC.
b. Calculer AB,AC etBC.
c. Montrer que ABC est un triangle rec- tangle.
(2) D´eterminer les coordonn´ees du milieu M du segment [BC].
(3) a. D´eterminer les coordonn´ees du point D sym´etrique de A par rapport `a M. Placer ce point.
b. Que peut-on dire de ABDC. Justifier.
c. Calculer l’aire du quadrilat`ere ABDC.
(4) Soit le pointE(0;−4).
a. PlacerE.
b. Justifier que le centre du cercle circonscrit au triangle ADE est sur (AC).
O
•I
•J
•A
•B
•C
•D
•E
Solution:
(1) a. A(1; 1), B(−1; 3) et C(−2;−2) ; b. AB=p
(−1−1)2+ (3−1)2=√
8 = 2√
2, de mˆemeAC =√
18 = 3√
2 et BC=√ 26.
c. BC2 =AB2+AC2 donc par la r´eciproque du th´eor`eme de Pythagore,ABC est rectangle en A.
(2) SoientxM etyM les coordonn´ees deM. xM = −1−2
2 =−32 etyM = −2 + 3
2 = 1
2 doncM −32;12 .
2nd10 DS 1 Page 2 de 2 (3) a. Soient xet y les coordonn´ees de D.
M est le milieu de [AD] ssi
x+ 1
2 =−32 y+ 1
2 = 12
ssi
(x=−4 y= 0 . Donc D(−4; 0).
b. Le milieu des deux diagonales est M doncABDC est un parall´elogramme.
ABC est rectangle enA doncABDC est un rectangle.
c. L’aire du rectangle est donc AB×AC= 6×2 = 12
(4) On remarque d’abord queABE est isoc`ele. Pour le prouver, on calculeAD=√
6 etAE =√ 6.
Puis queC est le milieu de [DE].
DoncAC est une m´ediatrice au triangleADE donc le centre du cercle circonscrit deADE.
Exercice 4 : D´evelopper pour r´esoudre (10 minutes) (3 points) (1) Montrer que 2(x−1)2−4 = 2x2−4x−2
(2) R´esoudre
a. 2x2−4x−4 = 0 b. 2x2−4x−2 =−6
Solution:
(1) 2(x−1)2−4 = 2(x2−2x+ 1)−4 = 2x2−4x−2
(2) a. 2x2−4x−4 = 0 ssi 2(x−1)2−4−2 = 0 ssi (x−1)2−3 = 0 ssi (x−1−√
3)(x−1 +√ 3) = 0.
Les solutions sont 1−√
3 et 1 +√ 3 b. 2x2−4x−2 =−6 ssi 2(x−1)2+ 2 = 0.
Il n’y a pas de solution r´eelle `a cette ´equation.
Exercice 5 : Prise d’initiative (10 minutes) (3 points)
On veut fabriquer un panneau ayant la forme d’une double fl`eche de surface 0,5m2 que l’on d´ecoupera dans une planche carr´ee de cˆot´e 1m comme indiqu´e sur la figure ci-contre.
Comment choisir la longueurDH Solution: Soitx tel queDH =x.
L’aire de la fl`eche est 1−(1−x)2 (aire du carr´e moins aire des triangles rectangles ext´erieures `a la fl`eche).
On cherche donc `a r´esoudre 1−(1−x)2 = 0,5.
1−(1−x)2 = 0,5 ssi (x −1)2 −0,5 = 0 ssi (x−1−√
0,5)(x−1 +√
0,5) = 0.
Les solutions sont 1−√
0,5 et 1 +√ 0,5.
La longueur est comprise entre 0 et 1, il faut donc que DH= 1−√
0,5cm.
•A •B
•C
•D
H•
