Donc l’int´erieur de A est {a, b}

ANNEE UNIVERSITAIRE 2014/2015 S1 AUTOMNE

Parcours : Maths fondamentales Code UE : N1MA4011

Epreuve : Topologie des espaces m´etriques Date : 18/03/2015 Heure : 14h-15h20 Aucun document autoris´e

CORRIGE

COLLEGE SCIENCES

ET

TECHNOLOGIES

Exercice 2

Soit E ={a, b, c, d} et τ ={∅,{a, b},{a, b, c},{c},{a, b, c, d}}.

1. Il suffit de v´erifier que les unions des ´el´ements de τ sont encore dans τ.

2. Les ouverts contenus dans A sont ∅ et {a, b}. Donc l’int´erieur de A est {a, b}.

Pour trouver l’adh´erence, on peut lister les ferm´es pour cette topologie, en tant que compl´ementaires des ´el´ements de τ:

les ferm´es sont ∅,{c, d},{d},{a, b, d},{a, b, c, d}.

En particulier A est ferm´e et donc A=A.

3. Une propri´et´e de cours est que dans un ensemble fini, la topologie associ´ee `a n’importe quelle distance est la topologie discr`ete. Comme τ n’est pas la topologie discr`ete, il n’existe pas de distance associ´ee `a τ.

Exercice 3

On d´esigne pard la distance euclidienne usuelle deR². SoitO = (0,0) l’origine. Pour deux points P et Qde R², on pose

δ(P, Q) =

(d(P, Q) si O, P etQ sont align´es, ou bien si P =O ouQ=O, d(P, O) +d(O, Q) sinon.

On rappelle que δ est une distance sur R².

1. On a pour toutP ∈R² : δ(O, Q) = d(O, Q). Donc la boule de centreO et de rayon r pour δ est la boule de centre O et de rayon r pour la distance euclidienne d.

2. Distinguons deux cas :

• Supposons que 0< r≤d(O, P). Alors si Q /∈(OP), on aδ(Q, P)> d(O, P)≥ rdonc Q /∈B^δ(P, r). SiQ∈(OP), alorsδ(P, Q) = d(P, Q). Donc B^δ(P, r) est l’ensemble des points Q de (OP) tels que d(P, Q) < r : il s’agit du segment ouvert centr´e en P, port´e par la droite (OP) et de taille 2r.

Pour la suite, on note Σ(P, r) ce segment.

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• Supposons que r≥d(O, P).

δ(P, Q)< r⇐⇒

(soit Q∈(OP) et d(P, Q)< r

soit Q /∈(OP) et d(O, Q)< r−d(P, O)

DoncB^δ(P, r) = B^d(O, r−d(P, O))∪Σ(P, r) o`u on a not´e Σ(P, r) le segment ouvert constitu´e des points Qde (OP) tels que d(P, Q)< r.

3. Si O, P et Q sont align´es, ou bien si P = O ou Q = O, alors d(P, Q) = δ(P, Q).

Sinon, on a par in´egalit´e triangulaire

d(P, Q)≤d(P, O) +d(O, Q) =δ(P, Q),

d’o`u le r´esultat. Donc δ est plus fine que d. Pour montrer qu’elles ne sont pas

´

equivalentes, on va prendre deux points proches pour la distance euclidienne, mais non align´es. Soit P = (1,0) et P_n = (1,_n¹). Alors d(P, P_n) = _n¹ et δ(P, P_n) ≥ d(O, P) = 1. Supposons que les normes soient ´equivalentes, alors il existe C > 0 telle que δ≤Cd, en particulier

∀n≥1, 1≤δ(P, P_n)≤Cd(P, P_n) = C n. En faisant tendre n vers +∞, on aboutit `a une contradiction.

4. Comme δ est plus fine que d, et que H est ouvert pour d, on a que H est ouvert pour δ. A ce stade il est utile de comprendre quelles sont les boules de rayon petit pour δ :

• Soit >0, on a vu d’une part queB^δ(O, ) =B^d(O, ). D’autre part on a pour tout > 0 que B^δ(O, )∩H 6= ∅ (c’est ´evident sur un dessin, et par exemple le point (0,₂) est dans cette intersection). DoncO ∈H.

• On aH^c={(x, y)∈R², x≤0}. SoitP 6=O dansH^c, et ∈]0, d(O, P)[. Alors on a vu queB^δ(P, ) est le segment Σ(P, ). On a alors

Σ(P, )⊂H^c (faire un dessin), et donc Σ(P, )∩H =∅. Donc P /∈H.

En conclusion :

H =H∪ {O}.

5. On sait d´ej`a queOn’est pas dans l’int´erieur de ∆, puisque les boules de centreOsont aussi des boules pour la distance euclidienne, et aucune de ces boules n’est contenue dans ∆. Notons ∆^∗ la droite ∆ priv´ee de l’origine. Soit P ∈ ∆^∗. D’une part, on a Σ(P, ) ⊂∆ pour tout > 0. D’autre part, on a vu que pour ∈]0, d(O, P)[, on a B^δ(P, ) = Σ(P, ). On a donc

∀∈]0, d(O, P)[, B^δ(P, )⊂∆.

Donc P est dans l’int´erieur de ∆. En conclusion, l’int´erieur de ∆ est ∆^∗. 2/3

Question Bonus : Montrer qu’une rotation centr´ee en l’origine est continue sur R² muni de la distance δ. Etudier le cas des translations.

Exercice 4

1. Proche du cours.

2. Par la formule du binˆome de Newton : P_n(X) =

n

X

k=0

n k

(−1)^kX^k, et donc

kP_nk₁ =

n

X

k=0

n k

= 2ⁿ.

D’autre part, par une rapide ´etude de fonction, on voit que Pn est positif et d´ecroissant sur [0,1]. On d´eduit que

kP_nk_S = sup

t∈[0,1]

P_n(t) =P_n(0) = 1.

3. Si P ∈E s’´ecrit sous la forme P(X) =Pn

k=0a_kX^k, on a

∀t∈[0,1], |P(t)| ≤

n

X

k=0

|a_k||t|^k ≤

n

X

k=0

|a_k|=kPk₁.

En passant au sup sur t∈[0,1], on a sup_t∈[0,1]|P(t)| ≤ kPk1 et on a donc montr´e

∀P ∈E, kPk_S ≤ kPk₁. Supposons un instant que k · k_S soit plus fine que k · k₁ :

∃C > 0,∀P ∈E, kPk₁ ≤CkPk_S. En particulier pour la suite (P_n)n∈N, on trouve

∀n ≥1, 2ⁿ≤C

et on obtient une contradiction lorsque n → +∞. Donc les normes ne sont pas

´

equivalentes.

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