Boules blanches, boules noires
Dans une urne il y aNboules noires(N >0)etBboules blanches(B >0).
On utilise l’algorithme suivant jusqu’à ce que l’urne soit vide:
1)S’il reste des boules dans l’urne,on en prend une au hasard,on la jette et on continue en2) 2)S’il reste des boules dans l’urne,on en prend une au hasard et on note sa couleur
a)Si cette couleur est la même que celle de l’avant dernière boule prise dans l’urne,on la jette et on continue en2)
b)Sinon, on remet la boule dans l’urne et on continue en1) Quelle est la probabilité pour que la dernière boule tirée soit blanche ?
Posons T = N +B, nous pouvons modéliser le problème en considérant le parallélépipède rectangle définit par les points(0,0,0),(N,0,0),(0, B,0),(0,0, T−1)et l’ensemble des points de coordonnées entières qu’il contient.
Convenons que le fait de jeter une boule fait passer du point(x, y, z)au point(x+ 1, y, z)ou au point (x, y+ 1, z)suivant que la boule est noire ou blanche et que le fait de remettre la boule dans l’urne fait passer du point(x, y, z)au point(x, y, z+ 1).
Un tirage quelconque sera associé à un chemin de ce réseau partant du point(0,0,0)pour aboutir à un point(N, B, X)avec0 ≤X ≤T −1( l’ élimination d’une boule, sauf la dernière, pouvant faire augmenter zd’une unité).
Soit P(i)la probabilité d’arriver au niveauz = iavec nboules noires et bboules blanches ( n etb non nuls mais quelconques suivant le point(n, b, i)atteint ). Il n’y a alors que trois possibilités:
a) Soit d’extraire d’abord toutes les boules noires puis les blanches avec une probabilité notéeP(n, b, i) b) Soit d’extraire d’abord toutes les boules blanches puis les noires avec une probabilité notéeP(b, n, i) c) Soit de passer au niveauz =i+ 1
Nous avons alors:
P(n, b, i) = n
n+b × n−1
n+b−1× · · · × 1
b+ 1 = n!b!
(n+b)!
P(b, n, i) = b
b+n × b−1
b+n−1× · · · × 1
n+ 1 = b!n!
(b+n)!
Si l’on désigne par P(N) et P(B)les probabilités respectives que la dernière boule tirée soit noire ou blanche, nous avons alors:
P(N) =
T−1
∑
i=0
P(i)P(b, n, i) et P(B) =
T−1
∑
i=0
P(i)P(n, b, i)
Ces deux probabilités étant égales, chacune vaut0.5qui est la probabilité demandée.
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