Correction exercice 19 – Probabilités Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher. 1.

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 19 – Probabilités

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l’urne.

On note A0 l’événement : "on n’a obtenu aucune boule noire"

A₁ l’événement : "on a obtenu exactement 1 boule noire"

A₂ l’événement : "on a obtenu 2 boules noires"

Calculons les probabilités de A₀, A₁ et A₂

Choisir 2 boules parmi 6 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 6. Il y a donc 



6

2 =15 tirages possibles. Les tirages s’effectuant au hasard, on peut supposer l’équiprobabilité des tirages.

o A₀ est l’événement "on n’a obtenu aucune boule noire" càd l’événement "Les deux boules tirées sont rouges". Or, tirer 2 boules rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4. Il y a donc





4

2 =6 possibilités de tirer 2 boules rouges donc p

( )

^{A0 =}

⁴

2 ×



2 0





6 2

= 6 15 =2

5. La probabilité de n’obtenir aucune boule noire est p

( )

^{A0 =2}₅

o A₁ est l’événement "on a obtenu une seule boule noire" càd l’évenement "on a obtenu une boule noire et une boule rouge". Or, il y a 2 boules noires et 4 boules rouges donc il y a 



2 1 



4

1 =8 possibilités de tirer exactement une boule noire donc p

( )

^{A1 =}₁₅⁸

La probabilité d’obtenir exactement 1 boule noire est p

( )

^{A1 =}₁₅^{8 .}

o Il y 2 boules noires donc une seule possibilité de tirer 2 boules noires donc p

( )

^{A2 =}₁₅¹

La probabilité de tirer 2 boules noires est 1 15

o Remarque : Lorsqu’on tire 2 boules, soit on ne tire pas de boule noire, soit on tire une seule noire soit on tire deux boule noire donc A0, A1 et A2 forment une partition de l’univers d’où p

( )

^{A0 +p}

( )

^{A1 =p}

( )

^{A2 =1}

2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne.

On note B0 l’événement : "on n’a obtenu aucune boule noire au tirage 2"

B₁ l’événement : "on a obtenu exactement une boule noire au tirage 2"

B₂ l’événement : "on a obtenu 2 boules noires au tirage 2"

a. Calculons p_A0

( )

^{B0 , pA}1

( )

^{B0 et pA}2

( )

^B0

o Il reste 4 boules dans l’urne donc tirer 2 boules revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4. Il y a 



4

2 =6 tirages n°2 possibles.

o p_A0

( )

^B0 : on cherche donc à calculer la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 sachant qu’on n’a obtenu aucune boule noire au tirage 1.

On n’a obtenu aucune boule noire au tirage 1 càd on a obtenu 2 boules rouges au tirage 1, il ne reste donc que 2 boules rouges dans l’urne et donc 1 seule possibilité de tirer 2 boules rouges d’où p_A0

( )

^{B0 =1}₆

o p_A1

( )

^B0 : on cherche à calculer la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 sachant qu’on en a obtenu une seule au tirage 1.

Chapitre 13 : probabilités partie 2 : les combinaisons Page 2 sur 2

Au premier tirage, on a donc obtenu 1 noire et 1 rouge. Après le premier tirage, il reste donc dans l’urne 1 noire et 3 rouges et tirer 2 boules rouges revient donc à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3, il y a donc 



3 2 =3 possibilités de n’obtenir aucune noire au tirage 2 d’où p_A1

( )

^{B0 =3}₆⁼¹₂

o p_A

2

( )

^B0 : on cherche donc à calculer la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 sachant qu’on a obtenu 2 noires au tirage 1.

Après le tirage 1, il reste les 4 boules rouges dans l’urne et donc tirer 2 boules consiste à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4 donc il y a 



4

2 =6 possibilités d’où p_A2

( )

^{B0 =6}₆⁼¹

b. En déduire p

( )

^B0

A₀, A1 et A2 forment une partition de l’univers dc B0 est la réunion des événements incompatibles A0∩B₀, A1∩B₀ et A2∩B₀ donc p

( )

^{B0 =p}

(

^A0∩B0

)

^+p

(

^A1∩B0

)

^+p

(

^A2∩B0

)

^=pA0

( )

^{B0 ×p}

( )

^{A0 +pA}1

( )

^{B0 ×p}

( )

^{A1 +pA}2

( )

^{B0 ×p}

( )

^A2

=1 6×2

5+1 2× 8

15+1× 1 15=2

5 D’où la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 est p

( )

^{B0 =2}₅

c. Calculer p

( )

^{B1 et p}

( )

^B2

Par un raisonnement analogue, on trouve pA₀

( )

^{B1 =2}₃^{, pA}1

( )

^{B1 =1}₂ ^{et pA}2

( )

^{B1 =0 d’où p}

( )

^{B1 =2}₃^×2₅⁺¹₂^×₁₅^{8 +0=}₁₅⁸

B₀, B₁ et B₂ formant une partition de l’univers p

( )

^{B2 =1−}

(

^p

^{( )}

^{B0 +p}

^{( )}

^B1

)

⁼¹⁻²₅⁻₁₅^{8 =}₁₅¹

d. On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?

On cherche donc la probabilité de l’événement A₁ sachant B₁ p_B1

( )

^{A1 = p}

(

^A1∩B1

)

p

( )

^{B1 =}

p_A1

( )

^{B1 ×p}

( )

^A1

p

( )

^{B1 =}

1 2× ⁸

15 8 15

=1 2

La probabilité d’avoir obtenu une seule noire au tirage 1 sachant qu’on a obtenu une seule noire au tirage 2 est 1 2 . 3. On considère l’événement R : "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient

extraites de l’urne". Montrons que p(R)=1 3

Il faut exactement les deux tirages pour extraire les 2 boules noires donc

- soit aucune noire n’est obtenue au tirage 1 et les 2 noires sont obtenues au tirage 2 - soit 1 noire est obtenue au tirage 1 et 1 noire est obtenue au tirage 2

L’événement R est donc la réunion des événements incompatibles A1∩B₁ et A0∩B₂ Donc p(R)=p

(

^A1∩B1

)

^+p

(

^A0∩B2

)

^=pA1

( )

^{B1 ×p}

( )

^{A1 +pA}0

( )

^{B2 ×p}

( )

^A0

=1 2× 8

15+1 6×2

5 =1 3 D’où la probabilité de R est p(R)=1

3