Correction exercice 4 – Probabilités 2 On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 vertes et 2 noires indisernables au toucher. 1.

Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons Page 1 sur 2

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 4 – Probabilités 2

On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 vertes et 2 noires indisernables au toucher.

1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?

Les 9 boules de l’urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules simultanément parmi les 9 consiste donc constituer une combinaison de 3 éléments parmi 9. Il y a donc 



 9

3 càd 84 tirages possibles . 2.

a. Calculons la probabilité de l’événement A :"le tirage contient exactement 2 boules rouges"

Pour que A se réalise, il faut tirer 2 boules rouges parmi les 4 et 1 boule non rouge parmi les 5 non rouges.

Or, tirer 2 boules rouges parmi les 4 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4 donc il y a 



 4

2 =6 possibilités faire un tel tirage.

Et il y a 



 5

1 =5 possibilités de tirer une boule non rouge (3 vertes et 2 noires) parmi les 5 non rouges.

D’où il y a 6×5=30 possibiltés de tirer exactement deux boules rouges.

donc en supposant l’équiprobabilité des tirages, p(A) =



 4 2 ×







 5 1







 9 3

= 30 84= 5

14ó0,36

La probabilité de tirer exactement deux boules rouges est p(A)= 5

14 ó0,36

b. Calculons la probabilité de l’événement B : "Le tirage contient au moins 2 boules rouges".

"Tirer au moins 2 boules rouges" revient à "tirer soit 2 boules rouges exactement, soit 3 boules rouges"

Il y a donc 30+4=34 possibilités de tirer au moins 2 boules rouges.

Or, nous avons vu qu’il y a 



 4 2 ×







 5

1 =30 possibilités de tirer exactement 2 boules rouges, et tirer 3 boules rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4 soit 



 4

3 =4 possibilités Donc en supposant l’équiprobabilité, p(B) =



 4 2 ×







 5 1 +







 4 3 ×







 5 0







 9 3

=34 84=17

42ó0,4

La probabilité de tirer au moins 2 boules rouges est p(B)=17

42ó0,4

c. Calculons la probabilité de l’événement C : "Le tirage contient exactement 2 boules de même couleur" ?

Pour que C se réalise, on peut :

- tirer exactement 2 boules vertes ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3 et tirer une boule non verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 6. Il y a donc







 3 2 



 6

1 =18 possibilités de tirer exactement 2 boules vertes.

- ou tirer exactement 2 boules noires ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 2 et tirer une boule non noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 éléments parmi 7. Il y a donc







 2 2 



 7

1 =7 possibilités de tirer exactement 2 boules noires.

Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons Page 2 sur 2

- ou tirer exactement 2 boules rouges sachant qu’il y a 



 4 2 ×







 5

1 =30 possibilités de la faire.

- D’où finalement, il y a 18+7+30=55 possibilités de tirer exactement 2 boules de même couleur donc en supposant l’équiprobabilité p(C) =



 3 2 ×







 6 1 +







 2 2 ×







 7 1 +







 4 2 ×







 5 1







 9 3

=55

84ó0,65

La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)=55

84 ó0,65

d. Calculons la probabilité de l’événement D : "Le tirage contient une boule de chaque couleur"

Pour que D se réalise, il faut :

- tirer exactement une boule rouge ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4.

- et tirer exactement une boule verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 3.

- et tirer exactement une boule noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 2.

Il y a donc 



 4 1 



 3 1 



 2

1 =24 possibilités de tirer une boule de chaque couleur Donc p(D)=24

84=2

7 ó0,29

La probabilité de tirer une boule de chaque couleur est p(D)=2

7ó0,29 .

3. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 euros ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 euros ; si une seule boule est rouge, il gagne 4 euros ; dans les autres cas, il ne gagne rien.

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain, en euros, du joueur lors d’un jeu.

a. Déterminons la loi de probabilité de la v.a. X X peut prendre pour valeurs 100, 15, 4 ou 0.

o p(X=15)=p(A)= 5 14

o Tirer exactement 3 boules rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4. Il y a donc 



 4

3 =4 possibilités de tirer exactement 3 boules rouges donc p(X=100)= 4 84= 1

21

o Tirer deux boules non rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 5 et tirer une boule rouge revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4, il y a donc 



 5 2 



 4

1 =40 possibiltés de tirer exactement 1 boule rouge donc p(X=4)=40

84=10 21 o p(X=0)=1−(P(X=4)+p(X=15)+p(X=100))=1−10

21− 5 14− 1

21= 5 42 D’où la loi de probabilité de la v.a. X :

xi 100 15 4 0

P

(

)

b. Pour une mise de 10 euros, le jeu est-il favorable au joueur ? Calculons l’espérance de X : E(X)=

∑

i=0 i=3

x_i p

(

)

En moyenne, le joueur peut donc espérer gagner 2,02 euros environ.

Pour une mise de 10 euros, le jeu est favorable au joueur.