E539. Des boules aux couleurs belges
A tout moment, notons la composition de l’urne en boules jaunes, noires et rouges par le triplet (j, n, r). La fonction 2j+n−r(mod 4) est un invariant pour toute opération élémentaire (j, n, r)7→ (j+ 1, n−2, r) ou (j−2, n+ 1, r+ 1) ou (j+ 1, n, r−2) ou (j−1, n−1, r+ 1) ou (j−1, n+ 1, r−1) ou (j, n, r). La situation initiale est (0,2010,0) d’invariant 2 (mod 4) ce qui nécessite en permanence quen≡r(mod 2).
Après un nombre fini d’opérations, s’il reste un nombre impair de boules, alors j≡1 (mod 2) et il y a toujours au moins une boule jaune. Si l’on veut être plus précis, dans le cas où il reste 3 boules, quatre cas sont à examiner, mais seuls deux cas conservent l’invariant.
j 3 1 1 1
n 0 2 0 1
r 0 0 2 1
2j+n−r(mod 4) 2 0 0 2
Dans le cas où il reste 1 boule, c’est nécessairement une boule jaune. Pour y parvenir rapidement, nous n’utilisons que les opérations élémentaires faisant diminuer le nombre total de boules d’une unité ; par exemple en appliquant 502 fois le motif de règles 1, 4, 1, 5, puis la règle 1, ce qui donne :
(0,2010,0) 7→(1,2008,0)7→ (0,2007,1) 7→(1,2005,1)7→ (0,2006,0) 7→. . . 7→
(0,2,0)7→(1,0,0).
1
