E539. Des boules aux couleurs belges.
Une urne contient 2010 boules qui sont toutes noires. On dispose par ailleurs à volonté de boules rouges et jaunes.
A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont : - noires, on les remplace par une boule jaune,
- jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, - rouges, on les remplace par une boule jaune,
- l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, - l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire.
- l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.
Après un nombre fini d’opérations, il y a trois boules dans l’urne. Prouver que l’une au moins est jaune.
Est-il possible qu’après un nombre fini d’opérations, il y ait une seule boule dans l’urne ?
Solution proposée par Michel Lafond
Quelque soit le tirage, ou bien l’effectif est inchangé (cas 2 ou 6) et alors le nombre de jaunes ne
varie pas, ou bien l’effectif baisse d’une unité et alors le nombre de boules jaunes change de parité (autres cas).
Si on arrive à 3 boules, c’est qu’on a baissé 2007 fois l’effectif. Le nombre de jaunes qui était pair (0) est par conséquent devenu impair donc non nul.
Il y a nécessairement une jaune (ou 3 jaunes) parmi les trois boules, et les deux situations sont possibles comme on le voit ci-dessous.
Notons N pour Noire, J pour Jaune, R pour Rouge.
Il est possible d’arriver à une boule unique (qui sera donc nécessairement jaune)
La succession de tirages T = (NN, NN, NJ, RJ) fait passer les effectifs de (2010 N, 0J, 0R) à (2008 N, 1J, 0R) puis à (2006 N, 2J, 0R) puis à (2005 N, 1J, 1R) et enfin à (2006 N, 0J, 0R).
Le résultat est que le nombre de noires a baissé de 4.
Partons de l’urne initiale,
- En itérant 501 fois T, on arrive à (6N, 0J, 0R) après quoi trois tirages NN donnent trois jaunes et aucune autre.
- En itérant 502 fois T, on arrive à (2 N, 0J, 0R) après quoi le tirage NN donnera une jaune unique.
