E539. Des boules aux couleurs belges

E539. Des boules aux couleurs belges

Une urne contient 2010 boules qui sont toutes noires. On dispose par ailleurs à volonté de boules rouges et jaunes. A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont :

- noires, on les remplace par une boule jaune,

- jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, - rouges, on les remplace par une boule jaune,

- l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, - l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire.

- l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.

1) Après un nombre fini d’opérations, il y a trois boules dans l’urne . Prouver que l’une au moins est jaune.

2) Est-il possible qu’après un nombre fini d’opérations, il y ait une seule boule dans l’urne ?

TIRAGE EVOLUTION

Boule 1 Boule 2 NOIRES JAUNES ROUGE TOTAL

NOIR NOIR -2 +1 - -1

JAUNE JAUNE +1 -2 +1 -

ROUGE ROUGE - +1 -2 -1

NOIR JAUNE -1 -1 +1 -1

NOIR ROUGE - - - -

JAUNE ROUGE +1 -1 -1 -1

1) Pour arriver à 3 boules, il faut au moins 2007 tirages de type NJ, NN, RR et RJ ("tirages réducteurs"), les tirages de type JJ et NR étant neutres en terme de modification du nombre global de boules. Si on n'a pas de boules jaunes dans l'urne, on est sur d'en générer une au prochain "tirage réducteur".

N'ayant que des boules noires, on est sur de générer au moins une boule jaune au premier tirage.

Son élimination suppose un tirage l'associant avec une boule noire pour créer une rouge mais le prochain "tirage réducteur" générera encore une boule jaune. De façon générale, l'élimination des boules jaunes suppose un tirage les associant entre elles ou en associant une avec une boule noire ou rouge. Mais le tirage de deux boules jaunes n'est pas "réducteur" et implique l'existence d'un tirage postérieur générant une boule jaune, sauf s'il ne restait plus dans l'urne qu'une boule noire et une boule rouge.

Il en résulte que dés lors qu'il y a un nombre impair de boules dans l'urne, il y au moins une boule jaune.

2)

EVOLUTION GENERALE

NOIRES JAUNES ROUGE TOTAL

2010 2010

2008 1 2009

2006 2 2008

… …

0 1005 1005

502 1 502 1005

0 503 0 503

251 1 251 503

1 251 1 253

126 1 126 253

0 127 0 127

63 1 63 127

1 63 1 65

32 1 32 65

0 33 0 33

16 1 16 33

0 17 0 17

8 1 8 17

0 9 0 9

4 1 4 9

0 5 0 5

2 1 2 5

0 3 0 3

1 1 1 3

2 2

2 2

1 1