E514 Des boules de toutes les couleurs [*** à la main]

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E514 Des boules de toutes les couleurs [*** à la main]

Solution de Daniel Collignon :

Notons pour i=1..8, Bi l’ensemble des couleurs de la boîte n°i (cardinal de Bi = |Bi| = 6).

Modélisons le problème par un graphe dont les sommets seront les boîtes.

Deux boîtes partagent au plus 1 couleur : aussi nous conviendrons que 2 sommets distincts partageant une même couleur seront reliés par une arête colorée.

Si nous définissons di le degré du sommet i comme étant le nombre d’arêtes supportées par ce sommet, alors clairement 0<=di<=7.

Au passage, si di = 7, compte tenu qu’il n’y a que 6 couleurs possibles, d’après le principe de Dirichlet, le sommet supporte donc deux arêtes d’une même couleur, et alors il existe un triangle monochromatique (si c = Bi inter Bj = Bi inter Bk, alors c = Bj inter Bk).

S’il existe un pentagone monochromatique, alors il faut au moins 5*5+1 = 26 couleurs.

Rappelons la formule de Poincaré (ou formule du crible) :

|B1 union … union B8| = somme(j=1..8, 1<=i1<…<ij<=8, (-1)^(j+1)*|Bi1 inter … inter Bij|) Si l’on se place dans le cas où il n’existe pas de pentagone monochromatique, alors cette formule se simplifie en :

s1 = somme(i=1..8, |Bi|) = 8*6 = 48

s2 = somme(1<=i<j<=8, |Bi inter Bj|) = (1/2)*somme(i=1..8, di) <= 4*7 = 28.

s3 = somme(1<=i<j<k<=8, |Bi inter Bj inter Bk|) (nombre de triangles monochromatiques) s4 = somme(1<=i<j<k<l<=8, |Bi inter Bj inter Bk inter Bl|) (nombre de quadrilatères monochromatiques)

Un quadrilatère monochromatique génère 4 triangles monochromatiques.

S’il y a plus d’un quadrilatère monochromatique, alors ils sont nécessairement tous de couleurs différentes, générant ainsi de nouveaux triangles monochromatiques. En d’autres termes, nous avons s3 >= 4s4 et donc s3 - s4 >= 3s4 >= 6.

D’où S >= 48 - 28 + 6 = 26.

S’il n’existe qu’un seul quadrilatère monochromatique, considérons j un des sommets n’appartenant pas à ce quadrilatère monochromatique.

- soit dj = 7, auquel cas nous avons un triangle monochromatique distinct des 4 autres et S >= 48 - 28 + 5 - 1 = 24

- soit dj<7, auquel cas, s2 <= 27 et S >= 48 - 27 + 4 - 1 = 24.

S’il n’existe pas de triangle monochromatique, alors pour tout i=1..8, di < 7, ce qui entraîne que s2 <= 4*6 = 24 et S >= 48 - 24 = 24

Supposons qu’il existe un triangle monochromatique :

- s’il y en a exactement un, cela signifie qu’il y a 5 sommets de degré < 7, ce qui implique que s2 <= 25 et S >= 48 - 25 + 1 = 24

- s’il y en a exactement deux, cela signifie qu’il y a au moins 2 sommets de degré < 7, ce qui implique que s2 <= 27 et S >= 48 - 27 + 2 = 23

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- s’il y en a exactement trois, nous avons S >= 48 - 28 + 3 = 23 si tous les sommets sont de degré = 7, autrement S >= 24.

- enfin s’il y en a au moins quatre, nous avons S >= 48 - 28 + 4 = 24

Le balayage des cas montre que le minimum cherché est supérieur ou égal à 23.

Les configurations suivantes montrent que le minimum cherché est bien égal à 23.

2 triangles monochromatiques avec deux sommets de degré 6 et les autres de degré 7 B1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B2 = {1, 7, 8, 9, 10, 11}

B3 = {1, 12, 13, 14, 15, 16}

B4 = {2, 7, 12, 17, 18, 19}

B5 = {3, 8, 13, 17, 20, 21}

B6 = {4, 9, 14, 17, 22, 23}

B7 = {5, 10, 15, 18, 20, 22}

B8 = {6, 11, 16, 19, 21, 23}

3 triangles monochromatiques avec tous les sommets de degré 7 B1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B2 = {1, 7, 8, 9, 10, 11}

B3 = {1, 12, 13, 14, 15, 16}

B4 = {2, 7, 12, 17, 18, 19}

B5 = {3, 8, 13, 17, 20, 21}

B6 = {4, 9, 14, 18, 20, 22}

B7 = {5, 10, 15, 19, 21, 22}

B8 = {6, 11, 16, 18, 21, 23}