E514 Des boules de toutes les couleurs [*** à la main]
Solution
Supposons que chaque couleur apparaisse deux fois et deux seulement. Comme il y a 6*8 = 48 boules, il en résulte 24 couleurs et il est facile de répartir les 48 boules dans 8 boîtes respectant les conditions imposées dans l’énoncé.
En voici un exemple parmi bien d’autres :
1 2 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 7 8
3 4 13 14 13 17 14 18 15 19 16 20 17 18 9 10
5 6 15 16 21 22 21 23 22 24 23 24 19 20 11 12
n°1 n°2 n°3 n°4 n°5 n°6 n°7 n°8
On remplit la boîte n°1 avec six boules numérotées de 1 à 6. Ces six boules se retrouvent une deuxième fois respectivement dans les boîtes n°2, 3, 4, 5, 6 et 7. Puis on remplit la boîte n°8 avec les boules numérotées de 7 à 12 et six boules de couleurs identiques sont également placées dans les boîtes n°2, 3, 4, 5, 6 et 7. On prend ensuite les boules de couleurs n°13, 14, 15 et 16 que l’on met dans la boite n°2. Des boules de mêmes couleurs sont alors mises dans les boîtes n°3, 4, 5 et 6. Même démarche avec les boules n°17, 18, 19 et 20 dans la boîte n°7 puis boules de mêmes couleurs dans les boîtes n°3, 4, 5 et 6. Il ne reste plus que 8 boules à placer : n°21 dans les boîtes n°3 et 4, n°22 dans les boîtes n°3 et 5, n°23 dans les boîtes n°4 et 6 et enfin n°24 dans les boîtes n°5 et 6.
Cette configuration n’est pas optimale et l’on peut faire l’économie d’une couleur, c’est à dire utiliser 23 couleurs.
Supposons qu’une boule d’une couleur donnée apparaisse n fois avec n 4. Elle occupe nécessairement n boîtes différentes et comme les boules qui sont dans la même boîte qu’elle doivent toutes être de couleurs différentes, il faut prendre (1 + 5n) couleurs distinctes. Si n = 5, on obtient 26 couleurs > 24 couleurs précédemment obtenues. Si n = 4,on doit prévoir 21 couleurs. Dès lors la 5ème boîte doit contenir une seule couleur de chacune des 4 premières boîtes si bien qu’il faut prévoir 2 couleurs supplémentaires. De la même manière la 6ème boîte doit contenir une seule boule des 5 premières boîtes et pour la compléter il faut une couleur supplémentaire. Le score est de 24 couleurs et ne traduit pas d’amélioration par rapport à la configuration initiale.
Il ne reste plus qu’à essayer une boule d’une couleur donnée apparaissant 3 fois (par exemple boule n°1). Elle occupe donc 3 boîtes différentes et il faut donc prévoir 1 + 3*5 = 16 couleurs distinctes.
1 2 1 7 1 12
3 4 8 9 13 14
5 6 10 11 15 16
n°1 n°2 n°3
La 4ème boîte doit contenir une seule couleur de chacune des 3 boîtes, ce qui entraîne trois nouvelles couleurs dans cette 4ème boîte.
1 2 1 7 1 12 2 7
3 4 8 9 13 14 12 17
5 6 10 11 15 16 18 19
n°1 n°2 n°3 n°4
Même raisonnement avec les 5ème et 6ème boîtes où il faut ajouter respectivement 2 et 1 nouvelles couleurs. En cumul, il y a donc au minimum 16 + 3 + 2 + 1 =22 couleurs et l’on parvient à la configuration ci-après :
1 2 1 7 1 12 2 7 3 8 4 9
3 4 8 9 13 14 12 17 13 17 14 18
5 6 10 11 15 16 18 19 20 21 20 22
n°1 n°2 n°3 n°4 n°5 n°6
On peut encore remplir la 7ème boîte sans ajouter une couleur de plus mais toutes les cartouches sont utilisées et il est impossible de remplir la 8ème boîte :
1 2 1 7 1 12 2 7 3 8 4 9 5 10
3 4 8 9 13 14 12 17 13 17 14 18 15 19
5 6 10 11 15 16 18 19 20 21 20 22 21 22
n°1 n°2 n°3 n°4 n°5 n°6 n°7
Il faut admettre une 23ème couleur et une répartition devient possible avec 2 boules de la même couleur apparaissant chacune 3 fois (n°1 et n°17 dans l’exemple ci-après) :
1 2 1 7 1 12 2 7 3 8 4 9 5 10 6 11
3 4 8 9 13 14 12 17 13 17 14 18 15 19 16 17
5 6 10 11 15 16 18 19 20 21 20 22 21 23 22 23
n°1 n°2 n°3 n°4 n°5 n°6 n°7 n°8
Conclusion : 23 couleurs sont nécessaires et suffisantes.
