E539. Des boules aux couleurs belges
Une urne contient 2010 boules qui sont toutes noires. On dispose par ailleurs à volonté de boules rouges et jaunes. A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont :
- noires, on les remplace par une boule jaune,
- jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, - rouges, on les remplace par une boule jaune,
- l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, - l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire.
- l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.
Après un nombre fini d’opérations, il y a trois boules dans l’urne. Prouver que l’une au moins est jaune.
Est-il possible qu’après un nombre fini d’opérations, il y ait une seule boule dans l’urne ?
1. Remarque préliminaire : Le total des boules noires et des boules rouges est toujours pair
soit N ce total après un certain nombre de coups
• Soit on enlève 2 boules noires, et on ne rajoute ni boule noire, ni boule rouge, pour un total de N-2
• Soit on enlève 2 boules jaunes, et on rajoute une boule noire et une boule rouge, pour un total de N+2
• Soit on enlève 2 boules rouges, et on ne rajoute ni boule noire, ni boule rouge, pour un total de N
• Soit on enlève 1 boule noire et une jaune, et on replace la noire par une rouge, pour un total de N
• Soit on enlève 1 boule rouge et une jaune, et on replace la rouge par une noire, pour un total de N
• Soit on enlève 1 boule noire et une rouge, et on replace les deux, pour un total de N
• Initialement on a 2010 boules noires et aucune rouge, donc N = 2010 et est pair.
2. On va directement à la fin
Sur 3 boules, avec un nombre pair de boules noires ou rouges, on aura forcément une boule jaune.
3. Et même après la fin
Quand il reste deux boules, ce sont deux noires, ou deux rouges, ou deux jaunes, ou une noire et une rouge.
Si ce sont deux rouges, elles seront obligatoirement tirées, et remplacées par une seule jaune.
