Enonc´e noE539 (Diophante) Des boules aux couleurs belges
Une urne contient 2010 boules, qui sont toutes noires. On dispose par ailleurs `a volont´e de boules rouges et jaunes. A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont :
– noires, on les remplace par une boule jaune,
– jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, – rouges, on les remplace par une boule jaune,
– l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, – l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire, – l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.
Apr`es un nombre fini d’op´erations, il y a trois boules dans l’urne. Prouver que l’une au moins est jaune.
Est-il possible qu’apr`es un nombre fini d’op´erations, il y ait une seule boule dans l’urne ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Quel que soit le tirage, la somme du nombre de boules noires et du nombre de boules rouges ne change pas de parit´e dans l’op´eration de remplacement.
Cette somme ´etant paire dans la situation initiale, quand il ne reste que trois boules, il reste au moins une boule jaune.
Voici une s´equence de 2009 op´erations aboutissant `a une seule boule (n´ecessairement jaune, en raison de la remarque pr´ec´edente).
R´ep´eter 670 fois le remplacement de 2 noires par une jaune, puis le rem- placement d’une noire et une jaune par une rouge.
R´ep´eter 223 fois le remplacement de 2 rouges par une jaune, puis le rem- placement d’une rouge et une jaune par une noire.
L’urne contient alors 223 noires et une rouge.
R´ep´eter 74 fois le remplacement de 2 noires par une jaune, puis le rempla- cement d’une noire et une jaune par une rouge.
L’urne contient alors une noire et 75 rouges.
R´ep´eter 25 fois le remplacement de 2 rouges par une jaune, puis le rem- placement d’une rouge et une jaune par une noire.
L’urne contient alors 26 noires.
R´ep´eter 8 fois le remplacement de 2 noires par une jaune, puis le rempla- cement d’une noire et une jaune par une rouge.
L’urne contient alors 2 noires et 8 rouges.
R´ep´eter 4 fois le remplacement de 2 rouges par une jaune. L’urne contient alors 2 noires et 4 jaunes.
R´ep´eter 2 fois le remplacement d’une noire et une jaune par une rouge.
L’urne contient alors 2 rouges et 2 jaunes.
R´ep´eter 2 fois le remplacement d’une rouge et une jaune par une noire.
L’urne contient alors 2 noires.
Remplacer ces deux boules noires par une boule jaune.
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