C10143. JAUNE + ROUGE = CARVA
On rappelle qu’un cryptarithme est une op´eration cod´ee dans laquelle une mˆeme lettre repr´esente toujours le mˆeme chiffre (de 0 `a 9) et deux lettres diff´erentes repr´esentent deux chiffres diff´erents. En outre aucun nombre ne commence par le chiffre 0. Trouver la plus grande valeur de CARVA s’´ecrivant comme la somme de JAUNE et de ROUGE. On cher- chera ´egalement avec un peu plus de patience la plus petite valeur de CARVA.
Solution
Dans l’addition JAUNE+ROUGE=CARVA, observons les deux A en se- conde position : il en r´esulte que O ne peut prendre que la valeur 0 ou 9.
De fa¸con plus pr´ecise si U est inf´erieur ou ´egal `a 4, alors UNE+UGE ne d´epasse pas 1000 et donc O est n´ecessairement nul et l’on a C=J+R, alors que si U est sup´erieur ou ´egal `a 5 alors UNE+UGE d´epasse 1000 et O doit ˆetre ´egal `a 9 et l’on a C=J+R+1.
Pour chercher la valeur maximale de CARVA, voyons s’il existe une solu- tion commen¸cant par 987, auquel cas ce sera bien une solution maximale.
Ainsi donc prenons C=9, A=8 et R=7. R=7 n’est possible qu’avec U=3 ou U=8, mais comme 8 est d´ej`a utilis´e il reste U=3 et donc d’apr`es la remarque liminaire on a O=0 et J=C–R=9–7=2. Il reste donc `a voir si l’on peut r´esoudre NE+GE=100+V8 avec comme chiffres r´esiduels 1, 4, 5 et 6. Il vient n´ecessairement E=4 et l’on voit alors que l’on peut conclure en prenant V=1, le couple N,G valant 5,6 ou 6,5 ; La plus grande valeur de CARVA est donc 98718 somme de 28364 et de 70354.
Pour la plus petite valeur le chemin est plus long. La plus petite valeur de C est 3 s’´ecrivant comme la somme de 1+2. Comme il n’y a pas de retenue c’est que O est nul et donc que U est inf´erieur ou ´egal `a 4 (voir remarque liminaire). Mais comme 0, 1, 2 et 3 sont d´ej`a utilis´es il reste U=4 et donc R devrait valoir 8 ou 9, ce qui n’est pas le cas puisque devant ˆetre aussi ´egal `a 1 ou 2. Il n’y a donc pas de solution avec C=3. Regardons si l’on trouve des solutions avec C=4. Une premi`ere possibilit´e est d’obtenir 4 en additionnant 1 et 3 (c’est `a dire sans retenue venant de la droite).
Alors O est nul et U doit ˆetre inf´erieur ou ´egal `a 4 ce qui conduit `a U=2 seule valeur restante. Mais alors R vaut 4 ou 5, ce qui n’est pas le cas car devant ˆetre aussi ´egal `a 1 ou 3. Il faut donc regarder C=4 comme obtenu par 1+2 avec une retenue, soit donc O=9 et U sup´erieur ou ´egal
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a 5. Comme R vaut 1 ou 2, U vaut 0, 5 ou 6 et seuls U=5 ou U=6 sont
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a regarder. Pour U=5, on a R=1 et il faut r´esoudre NE+GE=100+VA avec comme chiffres r´esiduels 0, 3, 6, 7 et 8, ce qui conduit soit `a E=3, A=6 et une impossibilit´e pour N+G=10+V avec 0, 7 et 8, soit `a E=8, A =6 et encore une impossibilit´e pour N+G+1=10+V avec 0, 3 et 7.
Pour U=6, on a R=2 et il faut r´esoudre NE+GE=VA avec comme chiffres
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r´esiduels 0, 3, 5, 7 et 8, ce qui implique E=5, A=0 et une impossibilit´e pour N+G+1=V avec 3, 7 et 8. Il n’y a donc pas de solution commen¸cant par 4. Regardons ensuite l’existence de solutions commen¸cant par C=5.
Trois cas sont `a regarder selon que C=5 s’obtient par 1+4, ou 2+3 ou enfin 1+3 avec une retenue. Premier cas : C=5=1+4. Alors O est nul et U inf´erieur ou ´egal `a 4, soit U=2 ou 3 seules valeurs restantes. Mais comme R vaut 1 ou 4, il vient U=2 et R=4, et il faut r´esoudre NE+GE=VA avec comme chiffres r´esiduels 3, 6, 7, 8 et 9, ce qui implique V=9 avec N et G dans le couple (3,6) et les deux valeurs restantes 7 et 8 ne permettent pas de fixer E et A. Deuxi`eme cas C=5 obtenu comme somme de 1+3 avec une retenue. Alors O=9 et U sup´erieur ou ´egal `a 5. Comme 5 est d´ej`a utilis´e on d´eduit que U=6 avec R=3 et il faut r´esoudre NE+GE=100+VA avec comme chiffres r´esiduels 0, 2, 4, 7 et 8, ce qui conduit soit `a E=2, A=4 et une impossibilit´e pour N+G=10+V avec 0, 7 et 8, soit `a E=4, A =8 et encore une impossibilit´e pour N+G=10+V avec 0, 2 et 7, soit encore
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a E=7, A=4 et une impossibilit´e pour N+G+1=10+V avec 0, 2 et 8. Il reste donc `a regarder le troisi`eme cas o`u C=5=2+3. Alors O est nul et U inf´erieur ou ´egal `a 4 soit U=1 ou 4 seules valeurs restantes. Mais comme R vaut 2 ou 3, il vient U=1 avec les deux valeurs de R `a regarder 2 ou 3. Commen¸cons par R=2, il faut alors r´esoudre NE+GE=VA avec comme chiffres r´esiduels 4, 6, 7, 8 et 9 mais la plus petite valeur de N+G obtenue par 4+6 d´epasse 10 ce qui ne convient pas. Il reste donc `a regarder R=3 et il faut alors r´esoudre NE+GE=100+VA avec comme chiffres r´esiduels 4, 6, 7, 8 et 9. E peut prendre les valeurs 4, 7, 8 et 9 conduisant aux valeurs de A respectivement de 8, 4, 6 et 8. La plus petite valeur de A est donc 4 avec E=7, et N+G+1=10+V avec comme chiffres r´esiduels 6, 8 et 9, ce qui n’a pas de solution. La valeur suivante de A est 6 avec E=8, et N+G+1=10+V avec comme chiffres r´esiduels 4, 7 et 9, ce qui n’a pas de solution. Reste donc `a regarder A=8 avec deux possibilit´es pour E. Premier cas E=4 et il faut r´esoudre N+G=10+V avec 6, 7 et 9, qui conduit enfin `a une premi`ere solution avec V=6 et N et G `a choisir dans le couple (7,9), soit donc 58368 pour CARVA. Mais le cas E=9 doit ˆetre aussi regard´e : il faut r´esoudre N+G+1=10+V avec comme chiffres r´esiduels 4, 6 et 7, ce qui fournit une deuxi`eme solution avec V=4 et N et G `a choisir dans le couple (6,7), soit une valeur de CARVA de 58348 plus petite que la pr´ec´edente. La plus
petite valeur de CARVA est donc de 58348 somme de 28169 et de 30179.
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