Ainsi,S= 11−2σn−1 σn , o`uσj repr´esente laj-i`eme fonction sym´etrique ´el´ementaire des racines deQ

0 A ajouter `` a la fin du paragraphe 3.6, page 37 :

Exercice. On pose P(X) =X¹¹−X+ 1∈C[X] et on note (x_i)1≤i≤11 une liste des racines deP, compt´ees avec multiplicit´e. CalculerS =

11

X

i=1

x_i x_i+ 2. Seconde solution : S =

11

X

i=1

x_i+ 2−2

x_i+ 2 = 11−2

11

X

i=1

1

y_i, o`u y₁, . . . , y₁₁ sont les racines de Q(X) = P(X−2) = (X−2)¹¹−(X−2) + 1 =

11

X

i=0

q_iXⁱ. Ainsi,S= 11−2σn−1

σn

, o`uσ<sub>j</sub> repr´esente laj-i`eme fonction sym´etrique ´el´ementaire des racines deQ. On en d´eduit queS = 11 + 2q₁

q₀, avecq0 =Q(0) = −2¹¹+ 3 et q₁ = 2¹⁰

11 1

−1 = 11×2¹⁰−1.

Ainsi, S = 11 +11×2¹¹−2

3−2¹¹ = 31 3−2¹¹. La suite est hors programme.

D´efinition. Soit n∈N^∗ etA ∈K[X₁, . . . , X_n] un polynˆome `an ind´etermin´ees.

On dit que A est sym´etrique si et seulement si, pour toutσ ∈ S_n, A(X_σ(1), . . . , X_σ(n)) =A(X₁, . . . , X_n).

Exemples.

— Les polynˆomes de Newton : X₁^p+· · ·+X_n^p, o`u n, p∈N^∗. Ils sont sym´etriques.

— Les polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires : pour toutp∈ {1, . . . , n}, Σ_p(X₁, . . . , X_n) = X

1≤i₁<i2<···<i_p≤n

X_i1×· · ·×X_ip est bien un polynˆome sym´etrique.

En effet, on peut ´ecrire Σ_p(X₁, . . . , X_n) = X

A⊂{1,...,n}

|A|=p

Y

a∈A

X_a. Soitσ ∈ S_n. Alors Σ_p(X_σ(1), . . . , X_σ(n)) = X

A⊂{1,...,n}

|A|=p

Y

a∈A

X_σ(a)= X

A⊂{1,...,n}

|A|=p

Y

b∈σ(A)

X_b, car σ est une bijection de A dans σ(A).

Notons P_p ={A ⊂ {1, . . . , n} / |A| =p} et ϕ_σ : P_p −→ P_p

A 7−→ σ(A). ϕ_σ est une bijection dont la bijection r´eciproque estϕ_σ⁻¹, donc par changement de variables, Σ_p(X_σ(1), . . . , X_σ(n)) = X

A∈Pp

Y

b∈ϕσ(A)

X_b = X

B∈Pp

Y

b∈B

X_b = Σ_p(X₁, . . . , X_n).

cEric Merle´ 1 MPSI2, LLG

0 Propri´et´e. (Admise) Soit n ∈ N^∗. On suppose que L est un sous-corps de K et que A est un polynˆome sym´etrique deL[X₁, . . . , X_n].

Alors il existeB ∈L[X1, . . . , Xn] tel que A=B(Σ1, . . . ,Σn).

Corollaire. On reprend les notations de la propri´et´e pr´ec´edente. On suppose de plus que P ∈ L[X] est un polynˆome scind´e dans K[X], dont les racines dans K, compt´ees avec multiplicit´e, sont not´eesβ1, . . . , βn. Alors A(β1, . . . , βn)∈L.

D´emonstration.

D’apr`es la propri´et´e,A(β<sub>1</sub>, . . . , β<sub>n</sub>) =B(Σ<sub>1</sub>(β<sub>1</sub>, . . . , β<sub>n</sub>), . . . ,Σ<sub>n</sub>(β<sub>1</sub>, . . . , β<sub>n</sub>)), donc d’apr`es les relations de Vi`ete,A(β₁, . . . , β_n) = B

(−1)^pan−p

a_n

1≤p≤n, o`ua<sub>i</sub> d´esigne le coefficient deP de degr´ei. Or P etB sont `a coefficients dans L, doncA(β₁, . . . , β_n)∈L.

Exemple. Avec L = Q et K = C : Soit P ∈ Q[X] un polynˆome de degr´e n. Il est scind´e sur C[X] (cf plus loin), donc en notant β₁, . . . , β_n ses racines complexes, compt´ees avec multiplicit´e, pour tout p∈N^∗, β₁^p+· · ·+β_n^p ∈Q.

cEric Merle´ 2 MPSI2, LLG