On repr´esente les suites infinies de tirages `a pile ou face comme les ´el´ements de l’ensemble Ω = {0,1}N∗

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

IFP Ann´ee 2002-03

Devoir n^o2

A rendre dans la semaine du 18 novembre 2002` Probl`eme.

Le but du probl`eme est de construire un espace probabilis´e mod´elisant une suite infinie de tirages `a pile ou face avec une pi`ece (´eventuellement) truqu´ee.

Rappelons que si E etF sont des ensembles, la notation F^E d´esigne l’ensemble des applications deE dansF. Dans le cas particulier o`uE ={1, . . . , n}, l’ensembleF^{1,...,n}

s’identifie `a Fⁿ=F × · · · ×F.

On repr´esente les suites infinies de tirages `a pile ou face comme les ´el´ements de l’ensemble

Ω = {0,1}^N∗.

Pour n ∈ N^∗, soit πn la fonction sur Ω `a valeurs dans {0,1} d´efinie par πn(ω) = ω(n) ; cette fonction repr´esente le r´esultat du n-i`eme tirage.

Soitpun r´eel fix´e appartenant `a ]0,1[. On veut construire une tribuF sur Ω rendant les fonctions πn mesurables, et une probabilit´e P sur (Ω,F) telle que pour toutn ≥1,

P{π_n= 1}=p, P{π_n = 0}= 1−p.

1) SoitGune tribu sur Ω. Montrer queπ_n estG-P({0,1}) mesurable si et seulement si les ensembles {π_n= 1} et{π_n = 0} appartiennent `a G. La r´eunion ∪

n≥1π_n⁻¹ P({0,1}) est-elle une tribu ?

2) Posons Ω_n={0,1}ⁿet Ω⁽ⁿ⁾ ={0,1}^{N∗\{1,...,n}} de sorte que Ω = Ω_n×Ω⁽ⁿ⁾.Soitf_n la fonction de Ω dans Ω_nd´efinie parf_n(ω) = π₁(ω), . . . , π_n(ω)

et soitFn =f_n⁻¹ P(Ω_n)).

Montrer que :

a) Fn est une tribu,

b) Fn={A×Ω⁽ⁿ⁾, A⊂Ω_n},

c) les fonctionsπ₁, . . . , π_n sontFn-P({0,1}) mesurables.

3) Pour tout C∈Fn, on pose

P_n(C) = X

x∈f_n(C)

p^|x|(1−p)^n−|x|,

o`u |x| d´esigne le nombre de coordonn´ees de x ´egales `a 1 ; plus formellement, on pose

|x|= Card

k∈ {1, . . . , n} : x(k) = 1 .

I.F.P. 2002–03, D.M. 2 Ph. Heinrich, L. Marsalle

Montrer que P_n est une probabilit´e sur (Ω,Fn) et que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, P_n{π_k= 1}=p.

4) Montrer que la suite (Fn)n≥1 est croissante. En d´eduire que ∪

n≥1Fn est une semi- alg`ebre sur Ω que l’on notera C dans la suite du probl`eme.

5) Soit P la fonction d’ensemble sur Cd´efinie par P(C) = Pn(C) si C∈Fn. Montrer que :

a) P est bien d´efinie (v´erifier que P_n etP_n+1 co¨ıncident sur Fn), b) P est additive sur C,

c) P(Ω) = 1 et P(∅) = 0.

6) Soit (Ci)i∈Nune suite d´ecroissante d’´el´ements deC. On veut ´etablir que si lesCi

sont tous non vides, alors

i∈∩N

C_i 6=∅.

Pour cela, on justifiera la construction suivante d’un ´el´ement ¯ω de Ω : – on choisit ¯ω(1) dans ∩

i∈N

π₁(C_i),

– ¯ω(1), . . . ,ω(k) ´¯ etant choisis, on choisit alors ¯ω(k+ 1) dans

\

i∈N

π_k+1

C_i∩f_k⁻¹

ω(1), . . . ,¯ ω(k)¯ .

Montrer que ¯ω appartient `a ∩

i∈N

C_i.

Indication : pourC appartenant `a Fn, on a l’´equivalence ω∈C ⇐⇒ ω(1), . . . , ω(n)

∈f_n(C).

7) Montrer que si (Ci)i∈N une suite d´ecroissante d’´el´ements de C tendant vers ∅, alors

i→+∞lim P(C_i) = 0.

8) Montrer que si (C_i)_i∈N une suite croissante d’´el´ements de C dont la r´eunion appartient encore `a C, alors

i→+∞lim P(C_i) = P(∪

i∈N

C_i).

9) Montrer que P est sous-σ-additive surC.

10) Conclure en appliquant le th´eor`eme d’extension du cours.

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