Le joueur J l’emporte si la combinaison PILE-PILE-FACE apparaît avant la combinaison FACE-PILE-PILE

Problème : Le paradoxe de Penney

On s’intéresse dans tout ce problème à une suite infinie de lancers d’une pièce équilibrée autour duquel deux joueurs J et J⁰ s’affrontent. Le joueur J l’emporte si la combinaison PILE-PILE-FACE apparaît avant la combinaison FACE-PILE-PILE. Au contraire, le joueurJ⁰l’emporte si la combinaison FACE-PILE-PILE apparaît avant la combinaison PILE-PILE-FACE.

Bien sûr, il est possible qu’aucun des joueurs ne gagne.

Pour tout k∈ N^?, on note F_k l’évènement « La pièce tombe sur FACE au k-ème lancer » et P_k son complémentaire.

On admet que si(A_k) est une suite d’évènements deux à deux incompatibles alors

P [

k∈N^?

A_k

!

= lim

p→+∞

p

X

k=1

P(A_k).

Partie N^o1 : FACE-PILE-PILE vaut mieux que PILE-PILE-FACE

1. Pour toutk∈N^?, on noteDkl’évènement « Il n’apparaît jamais deux PILE consécutifs lors des kpremiers lancers. » et d_k sa probabilité.

(a) Calculerd1,d2 etd3.

(b) Montrer que, pour tout k∈N^?,d_k+2= ¹₂d_k+1+¹₄d_k.

(c) Donner, pour tout k∈N^?, l’expression de d_k en fonction dek.

En déduire la limite de la suite(d_k).

2. On note à présent T le rang à l’issue duquel l’un des joueur est déclaré gagnant, noté +∞ si aucun des deux joueurs ne gagne.

(a) CalculerP(T = 1),P(T = 2)etP(T = 3).

(b) Montrer que, pour tout k>2,P(T > k) =d_k+₂¹_k. En déduire que P(T = +∞).

3. Pourk∈N^?, on noteJkl’évènement « Le joueur J est déclaré gagnant à l’issue dukème lancer » etj_k sa probabilité.

(a) Que valentj1 etj2. Pour k>3, montrer quej_k= ₂¹k.

(b) Calculer la probabilité de l’évènementG« Le joueur J est déclaré gagnant ».

(c) En déduire la probabilité de l’évènementG⁰ « Le joueur J’ est déclaré gagnant ».

(d) Conclure.

Partie N^o2 : FACE-PILE-PILE et PILE-PILE-FACE ont les mêmes temps d’attente On note X (respectivement X⁰) le rang à l’issue duquel la combinaison PILE-PILE-FACE (respecti- vement FACE-PILE-PILE) apparait pour la première fois, noté+∞ si aucun des joueurs ne gagne.

Pour tout k∈N^?, on posepk= P(X6k) etp⁰_k= P(X⁰6k).

Par exemple, si on obtient PILE-FACE-PILE-PILE-PILE-FACE-... alorsX = 6 etX⁰ = 4.

Pour toutk>3, on note en outreC_k(respectivementC_k⁰) l’évènement « La combinaison PILE-PILE- FACE (respectivement FACE-PILE-PILE) apparaît au cours des lancers numéros k −2, k−1 et k. ».

1. (a) Pour tout k>3, montrer que les évènementsCk etC_k⁰ sont équiprobables.

(b) Montrer que les évènements Ck,Ck+1,Ck+2 (respectivementC_k⁰,C_k+1⁰ ,C_k+2⁰ ) sont deux à deux incompatibles pour toutk>3.

(c) En déduire que p3=p⁰₃,p4 =p⁰₄ etp5 =p⁰₅, en donnant la valeur des ces probabilités.

1

2. Soitk>3.

(a) Montrer que l’évènement{X 6k+ 3}est la réunion disjointe des évènements{X6k+ 2}

et{X > k+ 2} ∩C_k+3.

(b) En déduire que p_k+3=p_k+2+^1−p₈^k.

3. Montrer que, pour tout k>3,p⁰_k+3=p⁰_k+2+ ^1−p

0 k

8 .

4. Montrer que les variables aléatoires X etX⁰ suivent la même loi.

Partie N^o3 : Temps moyen d’attente de FACE-PILE-PILE 1. Montrer que

E(X1X6n) =

n

X

k=0

P(X > k).

2. Montrer que

n→+∞lim

n

X

k=0

P(X > k) = 8.

3. En déduire le temps moyen d’attente de FACE-PILE-PILE.

Que vaut le temps moyen d’attente de PILE-PILE-FACE ?

* * * FIN DU SUJET * * *

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