Langage de pile d’un automate à pile

Langage de pile d’un automate à pile

Théorème 1

On considère un automate à pile A = (Σ,Γ, Q, δ, γ0, F).

SoitH={γ∈Γ^∗ | ∃f ∈Σ^∗, ∃q∈Q, (q0, γ0)−→^f (q, γ)}le langage de pile deA. AlorsH est rationnel.

Démonstration. On poseAn={a1, . . . , an, a1, . . . , an}et on définit une relation→surA^∗_n par : w→w^′⇔ ∃i, ∃u, v∈A^∗_n, w=uaiaiv et w^′ =uv.

On remarque que la relation → est noetherienne (il n’y a pas de chaîne infinie, car la longueur des mots est strictement décroissante), et confluente (si x→^∗y etx→^∗y^′, alors il existez tel quey→^∗z ety^′→^∗ z).

Donc pour toutw, il existe un unique motρ(w) minimal pour →.

On a alors le lemme :

Lemme 2

{w|ρ(w) =ε}=D_n^∗.

Démonstration. "⊆" : Soitw tel queρ(w) =ε, et soitktel que w→^kε.

Sik= 0, alorsw=εet doncw∈D^∗_n.

Soitk∈Ntel que pour toutw,w→^kε ⇒w∈D_n^∗. Soitw tel quew→^k+1ε. Alors il existe w^′ de la forme uvde taille 2ktel que w^′→^k ε, et tel quew=uaiaiv. Alorsw∈D^∗_n.

"⊇" : Évident par définition de→(une récurrence sur la longueur convaincra les sceptiques).

♦

On définit maintenant la substitutionσsurA^∗_n parσ(a) =D^∗_naD_n^∗. On a alors le lemme :

Lemme 3

Pour toutw∈A^∗_n,

σ(w) ={w^′ |w^′→^∗w}.

Démonstration. "⊆" : Soitw=w1. . . wk. Alorsσ(w) =D_n^∗w1D^∗_n. . . D^∗_nwkDn∗.

Soitw^′∈σ(w). Alors, par le lemme précédent,w^′ →^∗w.

"⊇" : Par récurrence sur la longueur de la réductionw^′→^pw : Le casp= 0 est trivial.

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Soitptel que tout motw^′ vérifiantw^′ →^pwsoit dansσ(w). Soitw^′ tel que w^′→^p+1w.

Alors il existe ˆwvérifiant – w^′→wˆ

– ˆw→^pw – ˆw=uv – w^′=uaiaiv

Par hypothèse de récurrence, ˆwest de la formed1w1. . . dkwkdk+1, avec lesdi dansD^∗_n.

Alorsuest de la formed1w1. . . dj(resp.d1w1. . . djwj) etvde la formewj. . . wkdk+1(resp.dj+1. . . wkdk+1).

w^′ est donc de la forme

d1w1. . . djaiaiwj. . . wkdk+1 (resp.d1w1. . . djwjaiaidj+1. . . wkdk+1), ce qui conclut la récurrence car djaiai

(resp.aiaidj+1) est dansD^∗_n.

♦

Lemme 4

Pour tout rationnelK surA^∗_n, le langageρ(K) ={ρ(w)|w∈K} est rationnel.

Démonstration. Un motwest dansρ(K) si et seulement si il est irréductible pour→, et si il existew^′ ∈K, tel quew^′→^∗w.

Donc

ρ(K) =σ⁻¹(K)\

n

X

i=1

A^∗_naiaiA^∗_n

! .

Par stabilité des langages rationnels,ρ(K) est rationnel. ♦

On va maintenant montrer que le miroir ˜H deH est rationnel, ce qui impliquera queH est rationnel.

On suppose que dans l’automateA, l’alphabet de pile est Γ ={a1, . . . , an}.

Pour une transitionτ=q, γ−→^y q^′, hdansA, on définitµ(τ) =γh, que l’on étend à˜ δ^∗.

On dit que deux transitionsτ et τ^′ sontconsécutivessi l’état d’arrivée deτ est le même que l’état de départ de τ^′.

On appelleK l’ensemble des suites de transitions deA consécutives.

K est clairement rationnel, car reconnu par l’automateA auquel on enlève la pile.

On a alors

H˜ =ρ(γ0µ(K))∩Γ^∗.

Par le lemme précédent, et stabilité des langages rationnels, ˜H est rationnel.

Références : Carton, Langages formels, calculabilité et complexité.

Leçons : 909, 911

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