NOM :
ECS1 H. Boucher 18/06/2020
Interro d’alg`ebre lin´eaire (dur´ee : 1 heure 20 minutes)
Exercice 1
1. Les familles de vecteurs suivantes forment-elles une famille libre deR3? Une base ? (a)
1 3
−3
,
1 2
−2
;
(b)
1 1 3
,
1
−1 1
,
1 2 4
;
(c)
1 1 3
,
1
−1 1
,
1 2 a
(discuter suivant la valeur de a∈R).
2. Si l’une des famille ci-dessus est libre mais n’est pas une base de R3, la compl´eter en une base deR3. Exercice 2
Soit F =
x y z
∈R3, x−2y+z= 0
etG=
x y z
∈R3,2x−y+ 2z= 0 etx+y+z= 0
. 1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 dont on d´eterminera la dimension et une
base.
2. Justifier queF ∩G est un sous-espace vectoriel deR3. D´eterminer une base et sa dimension.
3. On consid`ere la famille r´eunissant les bases deF et deGobtenues en question 1. Cette famille est-elle une base deR3? Pourquoi ?
Exercice 3
On consid`ere l’applicationf :R3→R3 d´efinie par f :
x y z
7→
x+y+z x−y+ 2z 3x+y+ 4z
.
1. Montrer quef est une application lin´eaire.
2. D´eterminer Kerf.
3. On admet que Imf = Vect
1 1 3
,
1
−1 1
,
1 2 4
. En donner la dimension et une base.
Exercice 4
Soit a,b deux nombres r´eels distincts non nuls et F = {P ∈ R3[X], P(a) = P(b) = 0} l’ensemble des polynˆomes de degr´e maximum 3, ayant aetbpour racines.
1. Soitf :R3[X]→R2 d´efinie par :∀P ∈R3[X],f(P) = (P(a), P(b)). Montrer quef est une application lin´eaire.
2. Montrer de deux mani`eres diff´erentes queF est un sous-espace vectoriel de R3[X].
3. D´eterminer la dimension et une base de F. 4. La compl´eter en une base deR3[X].
1
Probl` eme ` a n’aborder qu’apr` es avoir ´ epuis´ e les exercices pr´ ec´ edents :
Probl`eme 1
Ce probl`eme se compose de deuxexercices ind´ependants autour du th`eme de l’alg`ebre lin´eaire.
Chez les polynˆ omes
Soit E ={P ∈R[X],2XP(X) = (X2−1)P0(X)}.
1. Montrer queE est un espace vectoriel.
2. Soit P un ´el´ement de E.
(a) Montrer que 1 et−1 sont racines deP. (b) Montrer que deg(P) = 2 siP 6= 0E.
(c) En d´eduire qu’il existea∈R tel queP =a(X2−1).
3. En d´eduire tous les ´el´ements de E. D´eterminer la dimension et une base de l’espace vectoriel E.
Chez les matrices
Soit D=
0 0 0 0 3 0 0 0 3
∈ M3(R). On noteE={M ∈ M3(R), M D=DM}.
4. D´eterminer toutes les matrices deE.
5. Montrer queE est un espace vectoriel et en donner une base.
6. On s’int´eresse `a l’´equation M2−M+D= 0 d’inconnueM ∈ M3(R).
(a) Montrer qu’il n’y a pas de matrices diagonales solutions de cette ´equation.
(b) SiM est solution de cette ´equation, montrer (sans calcul explicite sur ses coefficients) queM ∈E.
(c) Montrer que cette ´equation admet une infinit´e de solutions.
7. Compl´eter la fonction Scilab suivante pour qu’elle teste si une matrice M ∈ M3(R) est sym´etrique.
function a = test(M) a = %t
for i = 1: ...
for j = 1: ...
if M( ... then a = %f
end end end endfunction
2
