Exercices sur les espaces de dimension finie

(1)

Espaces de dimension finie

Dimension d’un espace

Exercice 1 [ 01634 ][correction]

SoitE l’ensemble des fonctionsf :R→Rtelles qu’il existea, b, c∈Rpour lesquels :

∀x∈R,f(x) = (ax²+bx+c) cosx a) Montrer queE est sous-espace vectoriel deF(R,R).

b) Déterminer une base deE et sa dimension.

Soientp∈N^? etE l’ensemble des suites réellesppériodiques i.e. l’ensemble des suites réelles (un) telles que

∀n∈N, u(n+p) =u(n)

Montrer queE est unR-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.

Soientp∈N^? etE l’ensemble des suites complexesppériodiques i.e. l’ensemble des suites (un) telles que

∀n∈N, u(n+p) =u(n)

a) Montrer queE est unC-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.

b) Déterminer une base deE formée de suites géométriques.

SoitE=R^R. Pour toutn∈N, on posefn :x7→xⁿ. a) Montrer que (f0, . . . , fn) est libre.

b) En déduire dimE.

SoientE unR-espace vectoriel de dimension finie n∈N^? etδune application à valeurs réelles définie sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels deE. On suppose

∀F, F⁰ sous-espaces vectoriels deE,F∩F⁰={0E} ⇒δ(F+F⁰) =δ(F) +δ(F⁰) Déterminerδ.

Bases en dimension finie

On pose~e1= (1,1,1),~e2= (1,1,0) et~e3= (0,1,1).

Montrer queB= (~e1, ~e2, ~e3) est une base deR³.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 ete= (e₁, e₂, e₃) une base de E.

On pose

ε1=e2+ 2e3, ε2=e3−e1 etε3=e1+ 2e2

Montrer queε= (ε1, ε2, ε3) est une base deE

SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 ete= (e1, e2, e3) une base de E.

Soit

ε1=e1+ 2e2+ 2e3 et ε2=e2+e3

Montrer que la famille (ε₁, ε₂) est libre et compléter celle-ci en une base deE.

SoitEunK-espace vectoriel muni d’une basee= (e₁, . . . , e_n).

Pour touti∈ {1, . . . , n}, on poseε_i=e₁+· · ·+e_i. a) Montrer queε= (ε₁, . . . , ε_n) est une base deE.

b) Exprimer les composantes dansB⁰ d’un vecteur en fonction de ses composantes dansB.

[Lemme d’échange]

Soient (e₁, . . . , e_n) et (e⁰₁, . . . , e⁰_n) deux bases d’unR-espace vectorielE.

Montrer qu’il existej∈ {1, . . . , n} tel que la famille (e₁, . . . , e_n−1, e⁰_j) soit encore une base deE.

Sous-espaces vectoriels de dimension finie

SoientF, G deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE de dimension finien∈N.

Montrer que si dimF+ dimG > nalorsF∩Gcontient un vecteur non nul.

(2)

DansR⁴ on considère les vecteurs

u= (1,0,1,0), v= (0,1,−1,0), w= (1,1,1,1), x= (0,0,1,0) ety= (1,1,0,−1).

SoitF = Vect(u, v, w) etG= Vect(x, y).

Quelles sont les dimensions deF, G, F+Get F∩G?

Supplémentarité

DansR³, déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants :

a)F = Vect(u, v) oùu= (1,1,0) etv= (2,1,1)

b)F = Vect(u, v, w) oùu= (−1,1,0), v= (2,0,1) etw= (1,1,1) c)F =

(x, y, z)∈R³/x−2y+ 3z= 0 . Exercice 14 [ 00182 ][correction]

SoitE un espace vectoriel de dimension finie.

a) SoientH et H⁰ deux hyperplans de E. Montrer que ceux-ci possèdent un supplémentaire commun.

b) SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE tels que dimF= dimG.

Montrer queF etGont un supplémentaire commun.

Montrer que deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie qui sont de même dimension ont un supplémentaire commun.

SoientKun sous-corps deC,E unK-espace vectoriel de dimension finie,F1et F2

deux sous-espaces vectoriels deE.

a) On suppose dimF1= dimF2. Montrer qu’il existeGsous-espace vectoriel deE tel queF₁⊕G=F₂⊕G=E.

b) On suppose que dimF₁6dimF₂. Montrer qu’il existeG₁ etG₂ sous-espaces vectoriels deE tels queF₁⊕G₁=F₂⊕G₂=E etG₂⊂G₁.

Soit (e₁, . . . , e_p) une famille libre de vecteurs deE,F = Vect(e₁, . . . , e_p) etGun supplémentaire deF dansE. Pour touta∈G, on note

Fa = Vect(e1+a, . . . , ep+a)

a) Montrer que

Fa⊕G=E b) Soienta, b∈G. Montrer

a6=b⇒Fa6=Fb

Rang d’une famille de vecteurs

Déterminer le rang des familles de vecteurs suivantes deR⁴:

a) (x1, x2, x3) avecx1= (1,1,1,1), x2= (1,−1,1,−1) etx3= (1,0,1,1).

b) (x1, x2, x3, x4) avecx1= (1,1,0,1), x2= (1,−1,1,0), x3= (2,0,1,1) et x₄= (0,2,−1,1).

DansE=R^]−1,1[ on considère : f1(x) =

r1 +x

1−x, f2(x) =

r1−x

1 +x, f3(x) = 1

√

1−x², f4(x) = x

√ 1−x² Quel est le rang de la famille (f₁, f₂, f₃, f₄) ?

Soit (x₁, . . . , x_n) une famille de vecteurs d’unK-espace vectorielE.

Montrer que pourp6n:

rg(x1, . . . , xp)>rg(x1, . . . , xn) +p−n

Hyperplans en dimension finie

DansR³, on considère le sous-espace vectoriel H =

(x, y, z)∈R³|x−2y+ 3z= 0

Soientu= (1,2,1) etv= (−1,1,1). Montrer queB= (u, v) forme une base deH.

(3)

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie supérieure à 2.

SoitH1 etH2deux hyperplans deE distincts.

Déterminer la dimension deH1∩H2.

SoientH un hyperplan etF un sous-espace vectoriel non inclus dansH.

Montrer

dimF∩H= dimF−1

SoitF un sous-espace vectoriel de E distinct deE.

Montrer queF peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.

Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ?

SoientD une droite vectorielle etH un hyperplan d’unK-espace vectorielE de dimensionn∈N^?. Montrer que siD6⊂H alorsD etH sont supplémentaires dans E.

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finien∈N^?,H un hyperplan deE etD une droite vectorielle deE.

A quelle conditionH et Dsont-ils supplémentaires dansE?

SoientE un espace vectoriel de dimension finie etF un sous-espace vectoriel de E, distinct deE.

Montrer queF peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.

Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ?

(4)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a)E= Vect(f0, f1, f2) avecf0(x) = cosx,f1(x) =xcosxet f2(x) =x²cosx.

E est donc un sous-espace vectoriel et (f0, f1, f2) en est une famille génératrice.

b) Supposonsαf0+βf1+γf2= 0. On a∀x∈R, (α+βx+γx²) cosx= 0.

Pourx= 2nπ, on obtientα+ 2nπβ+ 4n²π²γ= 0 pour toutn∈N.

Siγ6= 0 alorsα+ 2nπβ+ 4n²π²γ→ ±∞. C’est exclu. Nécessairementγ= 0.

On a alorsα+ 2nπβ= 0 pour toutn∈N.

Pourn= 0, puisn= 1 on obtient successivementα=β = 0.

Finalement (f₀, f₁, f₂) est une famille libre. C’est donc une base deEet dimE= 3

On vérifie aisément queE est un sous-espace vectoriel deR^N. Pour tout 06i6p−1, on notee_ila suite définie par

ei(n) =

1 sin=i [p]

0 sinon

On vérifie aisément que les suitese0, . . . , e_p−1 sont linéairement indépendantes et on a

∀u∈E, u=

p−1

X

i=0

u(i)ei

La famille (e₀, . . . , e_p−1) est donc une base deE et par suite dimE=p.

a) On vérifie aisément queE est un sous-espace vectoriel deC^N. Pour tout 06i6p−1, on noteeila suite définie par

e_i(n) =

1 sin=i [p]

0 sinon

On vérifie aisément que les suitese0, . . . , ep−1 sont linéairement indépendantes et on a

∀u∈E, u=

p−1

X

i=0

u(i)ei

La famille (e0, . . . , e_p−1) est donc une base deE et par suite dimE=p.

b) Soitq∈C^?. La suite géométrique (qⁿ) est élément deE si, et seulement si,

∀n∈N, q^n+p=qⁿ

ce qui équivaut à affirmer queqest une racinep-ième de l’unité.

Considérons alors les suitesu1, . . . , up avec uj(n) =

e^2iπj/pⁿ

=ω_jⁿ avecωj= e^2iπj/p

Les suitesu1, . . . , up sont éléments deE. Pour affirmer qu’elles constituent une base deE, il suffit de vérifier qu’elles forment une famille libre. Supposons

p

X

j=1

λjuj= 0

Pourn∈N, on a l’équation

p

X

j=1

λjω_jⁿ= 0

Soitk∈ {1, . . . , p}fixé. En multipliant l’équation précédente parω_k⁻ⁿ et en sommant les équations obtenues pourn= 0,1, . . . , p−1, on obtient

p−1

X

n=0 p

X

j=1

λ_j ω_jω⁻¹_k ⁿ

= 0

En permutant les deux sommes

p

X

j=1

λ_j

p−1

X

n=0

ω_jω⁻¹_k ⁿ

= 0

Le nombreω_jω_k⁻¹ est une racinep-ième de l’unité et, lorsquej6=k, celle-ci diffère de 1, de sorte que

p−1

X

n=0

ω_jω_k⁻¹ⁿ

=

0 sij6=k p sij=k On obtient ainsi

p

X

j=1

λ_ppδ_j,k= 0

et doncλ_k= 0. Ceci valant pour toutk∈ {1, . . . , p}, on peut conclure à la liberté de la famille (u₁, . . . , u_p).

(5)

a) Supposonsλ0f0+· · ·+λnfn = 0. On a∀x∈R: λ0+λ1x+· · ·+λnxⁿ= 0.

Siλn6= 0 alorsλ0+λ1x+· · ·+λnxⁿ −−−−−→

x→+∞ ±∞c’est absurde.

Nécessairementλ_n= 0 puis de mêmeλ_n−1=. . .=λ₀= 0.

Finalement (f₀, . . . , fn) est libre.

b) Par suiten+ 16dimE pour toutn∈N, donc dimE= +∞

PourF =F⁰={0E}, on obtient

δ({0E}) = 0 Pourx6= 0E, posonsf(x) =δ(Vectx).

On a évidemment

∀x6= 0_E,∀λ∈R^?, f(λx) =f(x) Soientxety non colinéaires. On a

Vect(x)⊕Vect(y) = Vect(x, y) Or on a aussi

Vect(x, y) = Vect(x, x+y) = Vect(x)⊕Vect(x+y) carxet x+y ne sont pas colinéaires. On en déduit

f(x) +f(y) =f(x) +f(x+y)

Ainsif(x+y) =f(x) et de façon analoguef(x+y) =f(y) doncf(x) =f(y).

Finalement la fonctionf est constante. En posant αla valeur de cette constante, on peut affirmer

f =α.dim

car, par introduction d’une base, un sous-espace vectoriel peut s’écrire comme somme directe de droites vectorielles engendrées par ces vecteurs de base.

Supposonsλ₁~e₁+λ₂~e₂+λ₃~e₃=~0.

On a 





λ₁+λ₂= 0 λ1+λ2+λ3= 0 λ₁+λ₃= 0 qui donneλ₁=λ₂=λ₃= 0.

La familleB est une famille libre formée de 3 = dimR³ vecteurs deR³, c’est donc une base deR³.

Supposonsλ1ε1+λ2ε2+λ3ε3= 0E. On a

(λ3−λ2)e1+ (λ1+ 2λ3)e2+ (2λ1+λ2)e3= 0E

Or (e₁, e₂, e₃) est libre donc







λ₃−λ₂= 0 λ1+ 2λ3= 0 2λ₁+λ₂= 0 puisλ1=λ2=λ3= 0.

La familleεest une famille libre formée de 3 = dimE vecteurs deE, c’est donc une base deE.

Les vecteursε₁ etε₂ ne sont pas colinéaires donc forme une famille libre.

Pourε₃=e₂(ou encore par exempleε₃=e₃mais surtout pasε₃=e₁), on montre que la famille (ε₁, ε₂, ε₃) est libre et donc une base deE.

a) Supposonsλ1ε1+· · ·+λnεn= 0E. On a (λ1+· · ·+λn)e1+· · ·+λnen= 0E

donc











λ₁+λ₂+· · ·+λ_n= 0 λ2+· · ·+λn= 0

... λn = 0 qui donneλ1=. . .=λn= 0.

La familleεest une famille libre formée den= dimE vecteurs deE, c’est donc une base deE.

b)λ₁ε₁+· · ·+λ_nε_n=µ₁e₁+· · ·+µ_ne_n donne











λ₁+λ₂+· · ·+λ_n=µ₁ λ2+· · ·+λn=µ2

... λn=µn

(6)

puis











λ₁=µ₁−µ₂ ...

λ_n−1=µ_n−1−µ_n λn=µn

Par l’absurde, supposons la famille (e₁, . . . , e_n−1, e⁰_j) liée pour chaque j∈ {1, . . . , n}.

Puisque la sous-famille (e1, . . . , e_n−1) est libre, le vecteur e⁰_j est combinaison linéaire des vecteurse1, . . . , e_n−1 et donc

∀j∈ {1, . . . , n}, e⁰_j∈Vect(e1, . . . , e_n−1) Cela entraîne

e_n∈E= Vect(e⁰₁, . . . , e⁰_n)⊂Vect(e₁, . . . , e_n−1) ce qui est absurde.

On sait

dimF+G= dimF+ dimG−dimF∩G donc

dimF∩G= dimF+ dimG−dimF+G or dimF+G6dimE=ndonc dimF∩G >0.

Par suiteF∩Gpossède un vecteur non nul.

(u, v, w) forme une famille libre donc une base deF. Ainsi dimF = 3.

(x, y) forme une famille libre donc une base deG. Ainsi dimG= 2.

(u, v, w, x) forme une famille libre donc une base deR⁴. AinsiF+G=E et dimF+G= 4.

Enfin

dimF∩G= dimF+ dimG−dimF+G= 1

a) (u, v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u, v) génératrice deF. C’est donc une base deF.

D= Vect(w) avecw= (1,0,0) est un supplémentaire deF car la famille (u, v, w) est une base deR³.

b)w=u+v doncF = Vect(u, v). (u, v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u, v) génératrice deF. C’est donc une base deF.

D= Vect(t) avect= (1,0,0) est un supplémentaire deF car la famille (u, v, t) est une base deR³.

c)F ={(2y−3z, y, z)/y, z∈R}= Vect(u, v) avecu= (2,1,0) etv= (−3,0,1).

(u, v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u, v) génératrice deF. C’est donc une base deF.

D= Vect(w) avecw= (1,0,0) est un supplémentaire deF car la famille (u, v, w) est une base deR³.

a) SiH=H⁰ alors n’importe quel supplémentaire deH est convenable et il en existe.

Sinon, on aH 6⊂H⁰ et H⁰ 6⊂H donc il existex∈H et x⁰ ∈H⁰ tels quex /∈H⁰ et x⁰ ∈/ H.

On a alorsx+x⁰∈/H∪H⁰ et par suite Vect(x+x⁰) est supplémentaire commun à H et H⁰.

b) Raisonnons par récurrence décroissante sur n= dimF = dimG∈ {0,1, . . . ,dimE}.

Sin= dimE etn= dimE−1 : ok

Supposons la propriété établie au rangn+ 1∈ {1, . . . ,dimE}.

SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels de dimensionn.

SiF =Galors n’importe quel supplémentaire deF est convenable.

Sinon, on aF 6⊂Get G6⊂F donc il existex∈F et x⁰ ∈Gtels que x /∈Get x⁰ ∈/ F.

On a alorsx+x⁰ ∈/ F∪G.

PosonsF⁰ =F⊕Vect(x+x⁰) etG⁰=G⊕Vect(x+x⁰).

Comme dimF⁰= dimG⁰ =n+ 1, par hypothèse de récurrence,F⁰ et G⁰ possède un supplémentaire communH et par suiteH⊕Vect(x+x⁰) est supplémentaire commun àF et G.

Récurrence établie.

NotonsF etGles sous-espaces vectoriels de même dimension d’un espace vectorielE.

(7)

Raisonnons par récurrence décroissante sur n= dimF = dimG∈ {0,1, . . . ,dimE}.

Sin= dimE, l’espace nul est un supplémentaire commun.

Supposons la propriété établie au rangn+ 1∈ {1, . . . ,dimE}.

SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels de dimensionn.

SiF =Galors n’importe quel supplémentaire deF est convenable.

Sinon, on aF 6⊂Get G6⊂F donc il existex∈F et x⁰ ∈Gtels quex /∈Get x⁰∈/F.

On a alorsx+x⁰∈/F∪G.

PosonsF⁰ =F⊕Vect(x+x⁰) etG⁰=G⊕Vect(x+x⁰).

Comme dimF⁰= dimG⁰ =n+ 1, par hypothèse de récurrence,F⁰ et G⁰ possède un supplémentaire communH et par suiteH⊕Vect(x+x⁰) est supplémentaire commun àF et G.

Récurrence établie.

a) Par récurrence surp= dimE−dimF1. Si dimE−dimF1= 0 alorsG={0E}convient.

Supposons la propriété établie au rangp>0.

SoientF1 etF2de même dimension tels que dimE−dimF1=p+ 1.

SiF1=F2 l’existence d’un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en dimension finie permet de conclure.

Sinon, on aF16⊂F2et F26⊂F1ce qui assure l’existence de x1∈F1\F2et de x2∈F2\F1.

Le vecteurx=x₁+x₂ n’appartient ni àF₁, ni àF₂. On pose alors F₁⁰=F₁⊕Vect(x) etF₂⁰ =F₂⊕Vect(x). On peut appliquer l’hypothèse de récurrence àF₁⁰ et F₂⁰ : on obtient l’existence d’un supplémentaire communG⁰ à F₁⁰ et F₂⁰.G=G⁰⊕Vect(x) est alors supplémentaire commun à F₁ etF₂. Récurrence établie.

b) SoitF₁⁰ un sous-espace vectoriel contenant F₁ et de même dimension queF₂. F₁⁰ et F2 possèdent un supplémentaire communG. ConsidéronsH un

supplémentaire deF1 dansF₁⁰. En posantG1=H⊕GetG2=Gon conclut.

a) Soitx∈Fa∩G, on peut écrire x=

p

X

i=1

λ_i(e_i+a)

Mais alors

p

X

i=1

λiei=x−

p

X

i=1

λi.a∈F∩G={0E} doncλ1=. . .=λp= 0 puisx= 0E.

Soitx∈E, on peut écrirex=u+vavecu=

p

P

i=1

λ_i.e_i∈F et v∈G.

On a alors

x=

p

X

i=1

λ_i(e_i+a) + v−

p

X

i=1

λ_ia

!

∈F_a+G AinsiF_a⊕G=E.

b) Par contraposée :

SiF_a=F_b alors on peut écrire e1+a=

p

X

i=1

λi(ei+b) On a alors

p

X

i=1

λiei−e1=

p

X

i=1

λib−a∈F∩G doncλ1= 1 et∀26i6p, λi = 0.

La relation initiale donne alorse1+a=e1+bpuisa=b.

a) (x1, x2, x3) est libre donc rg(x1, x2, x3) = 3.

b) Commex3=x1+x2 etx4=x1−x2, on a Vect(x1, x2, x3, x4) = Vect(x1, x2).

Comme (x1, x2) est libre, on a rg(x1, x2, x3, x4) = rg(x1, x2) = 2.

On a

f₁(x) = 1 +x

√1−x² =f₃(x) +f₄(x), f₂(x) = 1−x

√1−x² =f₃(x)−f₄(x) donc

rg(f1, f2, f3, f4) = rg(f3, f4) = 2 car (f3, f4) est libre.

(8)

Vect(x1, . . . , xn) = Vect(x1, . . . , xp) + Vect(xp+1, . . . , xn).

donc rg(x1, . . . , xn)6rg(x1, . . . , xp) + rg(xp+1, . . . , xn)6rg(x1, . . . , xp) +n−p.

u, v∈H car ces vecteurs vérifient l’équation définissantH. (u, v) est libre et dimH = 2 carH est un hyperplan deR³. On secoue, hop, hop, le résultat tombe.

H1+H2est un sous-espace vectoriel deE qui contientH1 donc dimH1+H2=n−1 oun.

Si dimH₁+H₂=n−1 alors par inclusion et égalité des dimensions : H₂=H₁+H₂=H₁.

C’est exclu, il reste dimH₁+H₂=net alors

dimH₁∩H₂= dimH₁+ dimH₂−dimH₁+H₂=n−2.

On aF ⊂F+H ⊂Eet F6⊂H doncF+H=E d’où dimF∩H = dimF−1 via le théorème des quatre dimensions.

Posonsn= dimE etp= dimF. SoitB= (e₁, . . . , e_p) une base deF que l’on complète en (e₁, . . . , e_n) base deE. PosonsH_i= Vect(e₁, . . . ,ˆe_i, . . . , e_n) où ˆe_i signifie que le terme est absent de la liste. Par double inclusion

F =Hp+1∩. . .∩Hn.

On ne peut pas avoir moins d’hyperplans dans cette intersection puisque par récurrence on peut montrer que l’intersection deqhyperplans est de dimension supérieure àn−q.

D+H est un sous-espace vectoriel deE contenantH donc dimD+H=n−1 ou n.

Si dimD+H =n−1 alors par inclusion et égalité des dimensionsD+H =H or D⊂D+H et D6⊂H, ceci est donc exclu. Il reste dimD+H =nd’où

D+H =E.

PuisqueD+H =E et dimD+ dimH = dimE,D et H sont supplémentaires dansE.

SiD⊂H alorsH et Dne sont pas supplémentaires car H∩D=D6={0E} SupposonsD6⊂H.

Soitx∈D∩H. Six6= 0E alorsD= Vect(x)⊂H ce qui est exclu.

NécessairementD∩H ={0_E}.

De plus dimH+ dimD= dimE donc

H⊕D=E

Posonsn= dimE etp= dimF.

SoitB= (e₁, . . . , e_p) une base de F que l’on complète en (e₁, . . . , e_n) base deE.

Posons

H_i= Vect(e₁, . . . ,eˆ_i, . . . , e_n) Par double inclusion, on montre

F =

n

\

i=p+1

Hi

On ne peut construire une intersection avoir moins d’hyperplans car on peut montrer par récurrence que l’intersection deqhyperplans est de dimension supérieure àn−q.

Ainsi, le nombre minimum d’hyperplans intersecté pour écrireF est den−p.