DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Exercice 1 : Groupe dont tout ´ el´ ement est son propre sym´ etrique
1Fait en TD.
2SupposonsH∩aH 6=∅: il existe des ´el´ementsheth0 deH tels queh0=ah, donc tels quea=h0h−1∈H, ce qui est absurde :H∩aH=∅.
H∪aH est clairement une partie non vide deG, stable par passage au sym´etrique, puisque tout ´el´ement est son propre sym´etrique. V´erifions qu’elle est stable par la loi deH : soith, h0 ∈H. On a, puisque Gest ab´elien eta2= 1 :hh0∈H, (ah)h0∈aH, et (ah)(ah0) =hh0∈H, ce qui montre le r´esultat voulu.H∪aH est bien un sous-groupe deG.
3SoitN le cardinal deG, et ´ecrivonsG={g1, . . . , gN}. enfin, posonsG0={1}et, pour touti∈[[0, N−1]], Gi+1=Gi∪gi+1Gi.
D’apr`es la question pr´ec´edente, pour tout i ∈ [[0, N]], Gi est un sous-groupe de G, dont le cardinal est une puissance de 2 (pour l’h´er´edit´e,Gi+1=Gi sigi+1∈Gi, et|Gi+1|= 2|Gi|sinon).
Enfin, il est clair queGN =G, d’o`u le r´esultat voulu.
R´eciproquement, pour toutn∈N∗,{−1,1}n est un groupe de cardinal 2n tel queg2= 1 pour toutg∈G.
Exercice 2 : Sous-anneau dense de R
1Fait en TD.
2Le sens direct est ´evident (par d´efinition de la densit´e). R´eciproquement, supposons disposer deδ∈]0,1[∩A.
Pour toutn∈N∗,δn ∈A∩R∗+, et limnδn = 0, donc infA∩R∗+= 0. La question pr´ec´edente permet d’affirmer queAest dense dansR.
