Groupes (compl´ ement)
Nous montrons que tout ´el´ementxd’un groupe fini d’ordremv´erifiexm=e, o`ueest le neutre deG.
Relations d’´ equivalence
Unerelation sur un ensembleE est une partieRdeE×E. Nous noteronsxRy lorsque (x, y)∈ R.
La relationRest r´eflexive sixRxpour toutx∈E.
La relationRest sym´etrique sixRy impliqueyRx.
La relationRest transitivesixRy et yRz impliquentxRz.
La relationRest unerelation d’´equivalence si elle est `a la fois r´eflexive, sym´etrique et transitive.
Soit x∈ E; la classe d’´equivalence de xmodulo Rest l’ensemble des y ∈ E tels que xRy. Nous la notons Cl(x), ou encore ˙x.
Observons que chaque classe est non vide ; que deux classes sont disjointes ou confondues ; et que la r´eunion de toutes les classes estE. Dans cette situation, nous dirons que les classes d’´equivalence moduloRconstituent uneparition deE.
Classes ` a droite dans un groupe
Soit G un groupe quelconque, et H un sous-groupe de G. Notons ≡H la relation d´efinie par x ≡H y ⇐⇒
xy−1∈H; on v´erifie facilement que c’est une relation d’´equivalence :
• r´eflexivit´e : xx−1=e∈H, doncx≡Hx;
• sym´etrie : soientxet ydeux ´el´ements deG; six≡H y, alorsxy−1∈H, donc son inverseyx−1 est dans H, et par suitey≡Hx;
• transitivit´e : six≡H y ety≡H z, alors xy−1 et yz−1sont dans H, donc leur produitxy−1yz−1=xz−1 est dans H et par suitex≡H z.
Observons que cette relation estcompatibleavec la multiplication `a droite : six≡Hy, alorsxy−1∈H; mais, du coup, (xa)(ya)−1=xaa−1y−1=xy−1∈H, si bien que xa≡Hya.
Observons que, pourx∈E, l’ensembleHx={yx|y∈H}est exactement la classe dexmodulo≡H: en effet, y∈x˙ ⇐⇒ yx−1∈H ⇐⇒ y∈Hx.
La preuve du r´ esultat annonc´ e
SoientGfini, d’ordremetxun ´el´ement deG. La fonctionn∈Z7→xn est un morphisme de (Z,+) sur (G,×) ; comme G est fini, cette fonction est p´eriodique : notons p le plus petit naturel non nul tel que xp = e. Le sous-groupeH engendr´e parxest{e, x, . . . , xp−1}.
Les classes `a gauche modulo≡Hont toutes la mˆeme taille, qui est l’ordrepdeH; en effet, la fonctiont∈H 7→tx est injective (dans un groupe, la loi est r´eguli`ere) et surjective (par d´efinition deHx).
Notonsqle nombre de ces classes ; comme elles forment une partition deG, nous auronsm=pq.
Concluons : xp =e, doncxn=xpq= (xp)q =eq =e.
FIN
[Groupes-2] Version du 7 mars 2009
