Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD4 Compl´ ement : polytopes r´ eguliers.

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2015-2016 Module 4M001

Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD4 Compl´ ement : polytopes r´ eguliers.

Exercice 1 : On note E =R^d muni de sa structure canonique d’espace affine euclidien. Soit P ⊂ E un polytope.

a) On d´efinit

P^∗ :={x∈ E :hx, yi ≤1,∀y∈P}.

Montrer que P^∗ est un poly`edre convexe, et que P^∗ est compact (i.e. c’est un polytope) si P contient 0 dans son int´erieur.

b) On suppose que P^∗ est un polytope contenant 0 dans son int´erieur. Montrer que P^∗∗=P.

c) Donner une construction g´eom´etrique de P^∗ `a partir de P, `a similitude pr`es.

Exercice 2 :

a) SoitP un polytope r´egulier de dimensionddansR^d de centreO etx un sommet deP. Montrer que tous les sommetsyde P adjacents `axsont sur un hyperplan affineH que l’on d´eterminera.

b) Avec les notations pr´ec´edentes, on d´efinit le lien de P en x, que l’on note lien_x(P), comme lien_x(P) :=P∩H. Montrer que lien_x(P) est un polytope r´egulier de dimension d−1.

Exercice 3 :

Soitd≥1. On munitR^d etR^d+1 de leur structure canonique d’espace affine euclidien.

a) D´efinir le simplexe Simp_dde dimension ddansR^d+1 et v´erifier que c’est un polytope r´egulier.

b) D´efinir le cube Cubd de dimensionddansR^d et v´erifier que c’est un polytope r´egulier.

c) D´efinir le cocube Cocub_d de dimension d dans R^d et v´erifier que c’est un polytope r´egulier (indication : le cocube est la g´en´eralisation de l’octa`edre).

d) D´eterminer les groupes d’isom´etries de ces trois polytopes.

Exercice 4 :

SoitP ⊂R^dun polytope r´egulier de dimensiond. On notes(P) et on appelle symbole deP l’´el´ement s(P) = (r₁(P), . . . , rd−1(P)) ∈ N^d−1 d´efini par : r₁(P) est le nombre de cˆot´es d’une 2-face de P et (r2(P), . . . , rd−1(P)) est le symbole de lienx(P), pour un sommet x deP.

a) Montrer que pour tout i,r_i(P)≥3.

b) Calculer le symbole s(F) d’une faceF de P en fonction des(P).

c) Calculers(P^∗) en fonction de s(P).

d) Calculer les symboles de Simp_d, Cub_d, Cocub_d, du dod´eca`edre, de l’icosa`edre et des polygones r´eguliers.

e) On note l la longueur des ar`etes de P et r le rayon de la sph`ere circonscrite `a P. On note ρ(P) := _4r^l22. Montrer que

ρ(P) = 1− cos²

π r1(P)

ρ(lien_x(P)) .

f) En d´eduire queρ(P) ne d´epend que du symbole s(P) de P. On le notera doncρ(s(P)).

g) Montrer que s(P) caract´erise la classe de similitude de P.

h) Montrer que ρ(lien_x(P))>cos²(_r ^π

1(P))≥ ¹₄.

i) Montrer par r´ecurrence que les seuls valeurs possibles pours(P) sont les suivantes : – si d= 2,s(P) = (n), pour un entier n≥3 quelconque.

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– si d= 3,s(P) = (3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3).

– si d= 4,s(P) = (3,3,3),(3,3,4),(4,3,3),(3,4,3),(3,3,5),(5,3,3).

– si d≥5,s(P) = (3,3, . . . ,3,3),(3,3, . . . ,3,4),(4,3, . . . ,3,3).

j) On admet l’existence en dimension 4 de deux polytopes r´eguliers de symboles (3,4,3) et (3,3,5).

Classifier compl´etement les polytopes r´eguliers `a similitude pr`es, en toute dimension.

k) Que peut-on dire des groupes d’isom´etries de ces polytopes r´eguliers ?

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