Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2015-2016 Module 4M001
Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD0 Actions de groupes
Exercice 1 : 101
103 104 a) Montrer que si G est un groupe fini et H un sous-groupe strict de G, alors la r´eunion des
conjugu´es de H n’est pas ´egale `a G tout entier. Que dire si le groupe G est infini et si H est d’indice fini dansG? Et si on suppose seulement Ginfini ?
b) Soit Gun groupe fini agissant transitivement sur un ensemble fini X tel que |X| ≥ 2. Montrer qu’il existe g∈Gne fixant aucun point de X.
Exercice 2 : SoitK un corps etV unK-espace vectoriel de dimension finien. On noteB l’ensemble 101 106 127 150 des bases deV,G=GL(V) et X :={x= (x1, . . . , xn+1)∈Vn+1 : (x1, . . . , xn)∈B}.
a) Montrer que le groupeG agit naturellement sur les ensemblesB et X.
b) Montrer que l’action de Gsur B est libre et transitive.
c) Montrer que l’application naturelle X → Kn qui `a x associe les coordonn´ees de xn+1 dans la base (x1, . . . , xn) est constante sur les G-orbites.
d) En d´eduire une description du quotientX/G.
e) On consid`ere maintenant l’action deGsur End(V) par multiplication `a gauche (resp. `a droite).
Donner une condition n´ecessaire et suffisante simple pour que deux endomorphismes deV soient dans la mˆeme orbite sousG.
Exercice 3 : Soit Gun groupe fini agissant sur un ensemble fini X. En consid´erant l’ensemble 101 104 105 190 E:={(g, x)∈G×X:g·x=x},
calculer le nombre moyen de point fixes d’un ´el´ement deG.
Que dire en particulier si l’action est transitive ?
Exercice 4 : Combien y a-t-il de colliers diff´erents form´es de 9 perles dont 4 bleues, 3 blanches et 2 101 rouges ? 190
Exercice 5 : SoitGun groupe fini non trivial agissant sur un ensemble finiX. On suppose que pour 101 tout g 6= e∈ G, il existe un unique x ∈ X tel que g·x =x. On souhaite montrer que X admet un 190 point fixe sous G(n´ecessairement unique).
a) On noteY :={x∈X : StabG(x)6={e}}. Montrer queY est stable parG.
b) On note n=|Y /G|ety1, . . . , yn un syst`eme de repr´esentants de Y /G. Pour tout i, on note mi le cardinal de StabG(yi). En consid´erant l’ensemble Z := {(g, x) ∈ (G\ {e})×X : g·x = x}, montrer que
1− 1
|G| =
n
X
i=1
1− 1
mi
.
c) En d´eduire quen= 1.
d) Conclure.
Exercice 6 : 101
103 121 126 190 a) SoitGunp-groupe fini agissant sur un ensemble finiX. On noteXGl’ensemble des points fixes
de X sousG. Montrer que
|XG| ≡ |X|(mod. p).
1
b) Soit G un p-groupe agissant sur un ensemble fini X dont le cardinal n’est pas divisible par p.
Montrer queX admet un point fixe sous G.
c) Soit G un p-groupe fini et H 6={e} un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que l’intersection de H avec le centre de Gn’est pas r´eduite `a l’´el´ement neutre.
d) Montrer qu’un groupe d’ordre pn admet des sous-groupes d’ordrepi pour tout 0≤i≤n.
e) Soitp un nombre premier congru `a 1 modulo 4. On souhaite montrer que p est somme de deux carr´es d’entiers. On note
X :={(x, y, z)∈N3 :x2+ 4yz=p}. i) On d´efinit i:X →X par les formules suivantes
i: (x, y, z)7→ (x+ 2z, z, y−x−z) si x < y−z , (2y−x, y, x−y+z) siy−z < x <2y , (x−2y, x−y+z, y) six >2y .
V´erifier que iest bien d´efinie.
ii) Montrer que iest une involution et donc que cela d´efinit une action deZ/2ZsurX.
iii) Montrer queia un unique point fixe.
iv) Montrer que |X|est impair.
v) Montrer que l’application j:X→X d´efinie parj(x, y, z) := (x, z, y) admet un point fixe.
vi) Conclure.
Exercice 7 : Soit Gun groupe. 101
103 104 a) On suppose que G est fini et on note p le plus petit nombre premier divisant le cardinal deG.
Montrer que tout sous-groupe deGd’indice p est distingu´e.
b) On suppose que Gest infini et qu’il admet un sous-groupe strictH d’indice fini. Montrer que G n’est pas un groupe simple (i.e. Gadmet un sous-groupe distingu´e non trivial).
Exercice 8 : Soitn≥1 un entier. Montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme 101 104 107 de groupes finis admettant exactementnclasses de conjugaison.
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