Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2014-2015 Module 4M001
Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD3 Compl´ ements de g´ eom´ etrie projective
Exercice 1 :
Soit ∆ un droite dans un plan projectifP. Soient A, B, C trois points deux-`a-deux distincts de ∆.
Proposer une construction g´eom´etrique (`a la r`egle seule) du quatri`eme harmonique, i.e. du pointD∈∆ tel que [A, B, C, D] =−1.
Exercice 2 :
Soient D et D0 deux droites d’un plan projectif P. Soient M1, M2 et M3 trois points deux-`a-deux distincts deDetM10,M20 etM30 trois points deux-`a-deux distincts deD0. On noteh:D→D0 l’unique homographie telle queh(Mi) =Mi0 pour i= 1,2,3.
En ´ecrivant explicitementhcomme compos´ee de deux perspectives, proposer une construction g´eom´etrique (`a la r`egle seule) de l’image h(M) d’un point M ∈Dquelconque.
Exercice 3 : SoitV unk-espace vectoriel de dimensionn+ 1≥2 etH⊂V un hyperplan. L’objectif de cet exercice est d´etudier les homographies deP(V) dont la restriction `a l’hyperplan projectifP(H) est l’identit´e (i.e. les homographies de P(V) qui fixentP(H) point par point).
a) Sih∈PGL(V) fixe P(H) point par point, montrer qu’il existe un relev´e g∈GL(V) deh tel que la restriction deg `a H soit l’identit´e.
b) En distinguant suivant le d´eterminant de g, d´ecrire (vecteurs propres, matrice dans une base bien choisie, ´el´ements caract´eristiques) les deux familles d’applications lin´eairesg ainsi obtenues (dilatations si det(g)6= 1 et transvections si det(g) = 1).
c) Soit g ∈ GL(V) une dilatation (g 6= id) et h son image dans PGL(V). On dit que h est une homologie deP(V).
i) Montrer queh admet un unique point fixeadansP(V)\P(H).
ii) Montrer que les droites passant parasont stables par h.
iii) Montrer que la restriction deh `a P(V)\P(H) est une homoth´etie de centre a.
iv) Si n= 2, connaissant P(H), aet l’image h(m) d’un pointm /∈P(H)∪ {a}, construire `a la r`egle l’image parh d’un point quelconque du plan.
d) Soit g ∈GL(V) une transvection (g 6= id) et h son image dans PGL(V). On dit que h est une
´elation deP(V).
i) Montrer queh n’admet aucun point fixe dansP(V)\P(H).
ii) Montrer qu’il existe un unique pointa∈P(H) tel que les droites passant parasont stables parh.
iii) Montrer que la restriction deh `a P(V)\P(H) est une translation.
iv) Si n= 2, connaissantP(H),a et l’image h(m) d’un point m /∈P(H), construire `a la r`egle l’image parh d’un point quelconque du plan.
e) Montrer que tout homographie de P(V) est la compos´ee d’un nombre fini d’homologies et d’´elations.
f) On suppose n= 2. Soith une homographie deP(V).
i) On suppose queh fixe deux points distinctsa etb. Montrer que soit h fixe la droite (ab), soith laisse globalement invariante une droite contenant aoub distincte de (ab).
ii) On suppose k6=F2 eth∈PGL(V), h6= id.
i. Montrer qu’il existe une droiteD⊂P(V) telle queh(D)6=Det deux pointsa6=b∈D tels que h(a)6=a eth(b)6=b.
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ii. En d´eduire qu’il existe une homologieg de P(V) telle que g◦h fixeaet b.
iii) Montrer que si k 6= F2, il existe une homologie f de P(V) telle que f ◦ g◦h soit une homologie.
iv) En d´eduire que sik6=F2,h est produit d’au plus trois homologies.
Exercice 4 : Soit V un k-espace vectoriel de dimension n+ 1 ≥ 2. Soient H, H0 ⊂ P(V) deux hyperplans distincts.
a) Montrer que pour tout pointM ∈P(V)\H∩H0, il existe un unique hyperplan HM contenant M dans le faisceau engendr´e par H etH0.
b) On dit que deux points distincts M et M0 de P(V)\H∩H0 sont conjugu´es harmoniques par rapport `a H etH0 si [P, P0, M, M0] =−1, avecP = (M M0)∩H etP0= (M M0)∩H0. Montrer que l’ensemble des conjugu´es harmoniques de M est H(M)\H∩H0, o`u H(M) est l’unique hyperplan du faisceau tel que [H, H0, HM, H(M)] =−1. On appelle H(M) l’hyperplan polaire de M par rapport `a H et H0.
c) Construire `a la r`egle seule la droite polaire dans le cas du plan projectif (n= 2).
d) ´Etant donn´es trois points non align´es P, Q et R du plan projectif, et un quatri`eme point O hors des trois droites (P Q), (QR) et (P R), construire `a la r`egle seule un triangle ABC tel que P ∈(AB), Q∈(BC), R∈(AC) et les droites (AQ), (BR) et (CP) soient concourantes enO.
Exercice 5 : Soient ABED, BCF E, DEHG et EF IH quatre carr´es dans R2 ⊂ P2(R) et h : P2(R) → P2(R) une homographie. ´Etant donn´es les points h(A), h(B), h(E) et h(D) comme sur la figure, construire `a l’aide d’une r`egle les pointsh(C),h(F),h(I),h(H) et h(G).
h
h(A) h(B)
h(E) h(D)
G H I
F E
D
A B C
Exercice 6 : Soienta, b, c, d, ecinq points d’une droite projectiveDd’un plan projectifP. On suppose a, b, c deux-`a-deux distincts. Construire `a la r`egle seule des pointsf etg de D tels que
[a, b, c, d] + [a, b, c, e] = [a, b, c, f] et [a, b, c, d].[a, b, c, e] = [a, b, c, g].
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