Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2014-2015 Module 4M001
Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD1 Espaces affines
Exercice 1 :
a) Montrer que l’ensemble des matrices A de M2(R), telles que le vecteur (1,1)∈R2 soit fixe par A, est un espace affine ; en d´eterminer un point et l’espace vectoriel sous-jacent.
b) Montrer que l’ensemble des applications y:R→Rde classe C1, v´erifiant y0(x) =y(x) +x2−5 pour toutx∈R, est un espace affine, dont on d´eterminera un point et l’espace vectoriel associ´e.
c) Montrer que l’ensemble des applications f : R → R telles que f(x+ 1) = f(x) + 1 pour tout x∈Rest un espace affine, dont on d´eterminera un point et l’espace vectoriel associ´e.
Exercice 2 :
a) Rappeler la d´efinition d’un espace affine.
b) SoitGun groupe etXun ensemble. On d´efinit une action (`a droite) du groupeGsur l’ensemble X comme la donn´ee d’une applicationµ:X×G→X (on note souventx.g:=µ(x, g)) v´erifiant les conditions suivantes :
– pour toutx∈X,µ(x, e) =x.
– pour toutx∈X, pour tous g, h∈G,µ(x, gh) =µ(µ(x, g), h).
Montrer que cela ´equivaut `a la donn´ee d’un morphisme de groupes ϕ:G→S(X).
c) Donner des exemples d’actions de groupes naturelles.
d) Avec les notation pr´ec´edentes, on dit que l’action deGsurXest transitive si pour tousx, y∈X, il existeg∈G tel quey=x.g. On dit qu’elle est simplement transitive si pour tous x, y∈X, il existeun unique g∈Gtel quey=x.g. Montrer que la donn´ee d’un espace affineE de direction E´equivaut `a la donn´ee d’une action simplement transitive du groupe (E,+) sur l’ensemble non videE.
Exercice 3 :
SoitE un espace affine,A, B∈ E,λ, µ∈k∗. On souhaite d´eterminer explicitement l’application affine f :=h(λ, A)◦h(µ, B).
a) On suppose λµ= 1. Montrer que f est la translation de vecteur (λ−1)−−→ AB.
b) On suppose λµ 6= 1. Montrer que f =h(C, λµ), o`u C est l’unique point de E v´erifiant −−→ BC =
1−λ 1−λµ
−−→ BA.
c) On note H l’ensemble form´e des homoth´eties et des translations de E. Montrer que H est un sous-groupe du groupe des transformations affines de E. Le groupeH est-il commutatif ? Est-il distingu´e dans le groupe des transformations affines ? Si oui, quel en est le quotient ?
d) On va montrer maintenant que les ´el´ements deH sont exactement les transformations affines de E telles que tout droite de E a pour image une droite parall`ele. Soitf une telle transformation.
i) Soit x ∈ E. Montrer que si f(x) = x, alors toute droite passant par x est globalement invariante.
ii) On suppose maintenant que f admet au moins deux points fixes distincts x et y dans E.
Montrer alors quef = idE.
iii) On suppose que f admet un unique point fixe x. Montrer que f est une homoth´etie de centrex.
iv) On suppose que f n’admet pas de point fixe. Soit x∈ E et soit v:= −−−→
f(x)x. ´Etudier tv◦f et en d´eduire la nature def.
v) Conclure.
Exercice 4 :
a) SoientDetD0 deux droites d’un plan affineP, s´ecantes en un point C. SoientA, B deux points deD, etA0, B0 deux points deD0. Montrer qu’il existe deux homoth´etiesheth0 de mˆeme centre C telles queh(A) =B eth0(A0) =B0. Quels sont leurs rapports ?
b) En introduisant la projection affine π surD0 parall`element `a la droite (AA0), d´emontrer que les trois assertions suivantes sont ´equivalentes (th´eor`eme de Thal`es) :
i) (AA0)k(BB0).
ii)
−→AC
−−→ BC =
−−→A0C
−−→B0C. iii) h=h0.
c) Soient D et D0 deux droites distinctes du plan affine P. Soient A, B, C trois points de D et A0, B0, C0trois points deD0. Montrer que si (AB0)k(BA0) et (BC0)k(CB0), alors (AC0)k(CA0) (th´eor`eme de Pappus).
Exercice 5 :
SoitP un plan affine. SoientABC etA0B0C0 deux triangles sans sommet commun dont les cˆot´es sont deux `a deux parall`eles ((AB)k(A0B0), (BC)k(B0C0) et (CA)k(C0A0)). Montrer que les trois droites (AA0), (BB0) et (CC0) sont concourantes ou parall`eles (th´eor`eme de Desargues).
Exercice 6 :
SoientA, B, C trois points non align´es d’un plan affine P. SoientA0 ∈(BC),B0 ∈(AC) etC0 ∈(AB) tels que−−→
A0B=α−−→
A0C,−−→
B0C =β−−→
B0Aet−−→
C0A=γ−−→
C0B, avecα, β, γ∈k. On noteh1, h2, h3les homoth´eties de centres respectifsA0, B0, C0 et de rapports respectifsα, β, γ.
a) On pose ϕ:=h1◦h2◦h3. V´erifier que ϕ(A0)∈(BC).
b) Montrer que si A0, B0, C0 sont align´es sur une droite D, alors ϕ(D) = D. En d´eduire qu’alors ϕ(A0) =A0 et calculer αβγ.
c) Supposons que αβγ = 1. Montrer que h2◦h3 est une homoth´etie dont le centre appartient `a (B0C0). En d´eduire queA0∈(B0C0).
d) Conclure queA0, B0, C0 sont align´es si et seulement siαβγ = 1 (th´eor`eme de M´en´ela¨us).
Exercice 7 : Un quadrilat`ere complet est une configuration plane de quatre droites deux-`a-deux s´ecantes, dont trois ne sont jamais concourantes. Les sommets sont les six points de concours. Les diagonales sont les trois segments qui relient deux sommets qui ne sont pas sur une mˆeme droite.
Montrer en utilisant le th´eor`eme de M´en´ela¨us (cf exercice 6) que les milieux des diagonales d’un quadrilat`ere complet sont align´es. (On pourra consid´erer le triangle form´e des milieux de trois des cˆot´es du quadrilat`ere complet.)
Exercice 8 :
a) Quelles sont les applications affines commutant avec toutes les translations ?
b) Les sym´etries (resp. les projections) affines sont-elles les applications affines dont la partie lin´eaire est une sym´etrie vectorielle (resp. une projection) ?
c) Les sym´etries (resp. projections) affines sont-elles les involutions affines (resp. les applications affinesf v´erifiant f◦f =f) ?
Exercice 9 :
a) D´emontrer que l’application (lin´eaire)f :R3 →R3, qui admet la repr´esentation matricielle
0 −1 −1
1 2 1
−1 −1 0
dans le rep`ere canonique deR3, est une projection que l’on pr´ecisera.
b) D´eterminer la nature des applications affinesϕ:R2 →R2 d´efinies dans le rep`ere canonique par
ϕ1 : (x, y)7→
3 2x−1
2y+ 1,−1 2x+3
2y−1
,
ϕ2: (x, y)7→
1 2x+1
2y+ 1,1 2x+1
2y−1
.
c) D´eterminer la nature des applications affinesϕ:R3 →R3 d´efinies dans le rep`ere canonique par
ϕ3 : (x, y, z)7→
−5 2x− 3
2y+z−3 2,3
2x+1
2y−z−1
2,−3x−3y+z−3
,
ϕ4 : (x, y, z)7→
−1 2x−3
2y+ 3,−3 2x− 1
2y+ 3,3 2x+ 3
2y+z−3
.
Exercice 10 :
SoitE un espace affine etF,G deux sous-espaces affines de E.
Calculer la dimension du sous-espace affineHengendr´e par F ∪ G.
Donner des exemples de toutes les situations possibles pour les dimensions deHet deF ∩ G quand E est de dimension ≤3.
Exercice 11 :
Dans un plan affine r´eel, quel est l’ensemble des milieux des segments dont les extr´emit´es appartiennent respectivement `a deux segments donn´es.
Exercice 12 :
Soit ABC un triangle non plat dans un plan affine P sur R. D´ecrire `a l’aide des coordonn´ees bary- centriques dans le rep`ere (A, B, C) les sept r´egions d´ecoup´ees par les droites qui portent les cot´es du triangleABC.
Exercice 13 :
SoitABC un triangle non plat dans un plan affineP sur un corpskde caract´eristique diff´erente de 2.
Montrer que si la caract´eristique dekest diff´erente de 3, alors les m´edianes deABC sont concourantes.
Que se passe-t-il sikest un corps de caract´eristique 3 (on pourra regarder le cas du corps `a 3 ´el´ements) ?
Exercice 14 :
SoitP un plan affine etA, B, Ctrois points non align´es. SoitM0∈[AB]. On noteM1 l’intersection de la droite parall`ele `a (BC) passant par M0 avec (AC). On note M2 l’intersection de la droite parall`ele
`
a (AB) passant par M1 avec (BC). On continue (faire un dessin).
Montrer queM6 =M0.
Exercice 15 :
SoientP1, . . . , Pn des points d’un plan affine r´eelE.
Pour tout i, on note Pi1 le milieu du segment [PiPi+1] (par convention,Pn+1 =P1) : le polygone de sommets (Pi1)1≤i≤n est appel´e polygone des milieux du polygone initial de sommets (Pi)1≤i≤n. On recommence : pour toutm≥1, pour tout i, on notePim+1 le milieu du segment [PimPi+1m ].
a) Que peut-on dire de la suite des points (Pim)m∈N?
b) Un polygone donn´e P est-il-toujours le polygone des milieux d’un autre polygone Q? Si non, donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que Q existe, et, le cas ´ech´eant, expliquer comment construire ce polygoneQ.
Exercice 16 : Le but de cet exercice est de d´emontrer le ”th´eor`eme fondamental de la g´eom´etrie affine” (voir ci-dessous).
On rappelle d’abord quelques d´efinitions. SiKetLsont des corps,E unK-espace vectoriel etF unL- espace vectoriel, une applicationφ:E →F est dite semi-lin´eaire s’il existeσ :K→L un morphisme de corps tel que pour tout x, y ∈ E et λ∈ K, φ(x+λy) = φ(x) +σ(λ)φ(y) (on dit alors que φ est σ-lin´eaire). Avec les mˆemes notations, siE etF sont des espaces affines de directions respectivesE et F, une applicationf :E → F est dire semi-affine s’il existe une application semi-lin´eaire φ:E → F telle que pour toutA, B∈ E, on aitf(B) =f(A) +φ(−−→
AB).
On va montrer le th´eor`eme suivant : soient K, L deux corps et E, F des espaces affines de mˆeme dimensionn≥2 surK etL respectivement. Soitf :E → F une bijection. Alors
– si K6=F2,f est semi-affine si et seulement sif pr´eserve l’alignement.
– siK=F2,f est semi-affine si et seulement sif envoie toute paire de droites parall`eles sur une paire de droites parall`eles.
a) V´erifier le sens facile du th´eor`eme.
b) Montrer que pour la r´eciproque, toutes les hypoth`eses sont n´ecessaires (n ≥2, f bijective, cas K=F2).
c) On suppose K6=F2. Soitf :E → F pr´eservant l’alignement.
i) Montrer que pour tous pointsA0, . . . , Am ∈ E,f(Aff< A0, . . . , Am >)⊂Aff< f(A0), . . . , f(Am)>.
Ce r´esultat est-il vrai siK =F2?
ii) Montrer que l’image par f d’une famille de points affinement ind´ependants est une famille de points affinement ind´ependants.
ii) Montrer que −→
f est additive au sens suivant : pour tous vecteurs u, v ∈ E lin´eairement ind´ependants, −→
f(u+v) =−→
f (u) +−→ f(v).
iii) Soitx∈E\ {0}. Montrer qu’il existe une bijection σx :K→L telle que pour toutλ∈K,
−
→f(λx) =σx(λ)−→ f(x).
iv) En utilisant un vecteur y∈E\Kx, montrer que σx est un morphisme de corps.
v) Montrer queσx =σ ne d´epend pas du choix dex . vi) Conclure la preuve du th´eor`eme.
e) Montrer que siK =L=Qou R, alors toute application semi-affine est affine (i.e.σ = idR).
f) Si K = L = C, d´ecrire les bijections continues f : E → F pr´eservant l’alignement. Sont-elles toutes affines ?
g) Lister les bijections pr´eservant l’alignement pour les corps finis suivants : K =F2, K = Fp (p premier impair), K=F4 (corps `a 4 ´el´ements),K =Fpn...
