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FONCTIONS AFFINES PARTIE 3
En bleu, ce qui aurait pu être dit à l oral III. Inéquations produit
Méthode : Pour résoudre une inéquation du type , on établit un tableau de signes.
Pour étudier le signe du produit en fonction de x, on étudie le signe de chaque facteur puis on dresse un tableau de signes : on utilise la règle des signes d'un produit pour compléter la dernière ligne.
(Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est négatif).
On donne l'ensemble des solutions en utilisant la dernière ligne du tableau.
Exemple 1 : résoudre (2x 4)(3 x) 0.
Pour s aider, on peut commencer par faire séparément au brouillon les tableaux de signes de 2x 4 et de 3 x. Je le fais ici mais je ne le ferai plus après.
2x 4 0 pour x 2 3 x 0 pour 3 x
m 2 0 donc puis 3−x −x 3 donc m −1 0 donc on commence par +
x 2 + x 3
2x 4 3 x x 3
On regroupe ensuite les deux tableaux dans un grand.
Sur la ligne des , on a deux valeurs à placer et . Il faut bien les mettre dans l'ordre croissant donc le 2 avant le 0
s'annule pour , ce qui explique le 0 sous -2. Par contre, ne s'annule pas pour donc , il ne faut pas mettre de 0, ni changer les signes. On complète la dernière ligne en utilisant la règle des signes et les lignes au dessus.
x 2 3 signe de 2x 4
signe de 3 x
signe de (2x 4)(3 x) + donne + donne donne
Il nous reste à conclure en résolvant l inéquation de départ.
On résout , 0 signifie négatif et correspond donc au signe donc on cherche les
« moins » dans la dernière du tableau et on lit les solutions dans la première ligne du tableau.
Ainsi, pour ou pour .
L ensemble des solutions est S ] 2] on a fermé les crochets car on avait et non
Avec le même tableau, on peut résoudre les inéquations suivantes :
(2x 4)(3 x) 0 : on cherche toujours les "moins" mais on met les crochets dans l autre sens :
S ] 2[ [3 [.
(2x 4)(3 x) 0 : on cherche les "plus" car on a 0 et on ferme les crochets: S [ 2 3].
(2x 4)(3 x) 0 : on cherche toujours les "plus" mais on met les crochets dans l autre sens : S ] 2 3[
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Exemple 2 : Résoudre
Attention ! La méthode précédent n'est valable que si on a un produit dans un membre et 0 dans l'autre. Ce n est pas le cas ici. On peut cependant s'y ramener dans certains cas en suivant cette méthode :
Méthode : Pour résoudre une équation se ramenant à une équation produit : - on se ramène à 0 dans le membre de droite
- on factorise le membre de gauche - on construit un tableau de signes
- on donne l ensemble des solutions en utilisant la dernière ligne du tableau Exemple : Résoudre l inéquation (3x 1)( 2x 4) (5x 1)(3x 1) :
ssi
On factorise le membre de gauche. Ici on observe que (3x+1) est un facteur commun.
0
0
0
On va donc résoudre en utilisant la méthode vue avant :
Ici, . On est donc dans le cas . Les signes sont donc - puis +.
Ici, . On est donc dans le cas . Les signes sont donc + puis -.
x 1/3 3/7 signe de 3x 1
signe de 7x 3 signe de (3x 1)( 7x 3)
Attention : Il faut bien mettre les valeurs exactes dans la ligne des ! On conclut :
On veut résoudre , on cherche donc les « plus » dans la dernière du tableau et on lit les solutions dans la première ligne du tableau. On ouvre les crochets car dans l énoncé, l inégalité est stricte.
Ainsi, pour . S
1 3
3 7
