SECOND DEGRE EXERCICES CORRECTION
I. Pour revoir les méthodes du chapitre.
f, g et h sont les fonctions définies sur par f( x) (x 3)² (3x 2)² ; g (x ) 4 x ² 5x 6 et h( x) 3 x 6 x 1 .
B. On étudie le signe de f (x ) g ( x).
D après la partie A, f (x ) 8x ² 6x 5
Alors, pour tout réel x, f ( x) g ( x) 8x ² 6x 5 (4 x² 5 x 6) 12 x² x 11.
On cherche alors le signe du trinôme 12x ² x 11.
529 0 donc le trinôme a deux racines : x
11 529
2 ( 12) 1 et x
211 12 . On peut alors construire le tableau suivant (puisque a 12 0) :
x 11
12 1 + signe de f(x ) g( x)
Position relative de C
fet C
gC
fen dessous de C
gC
fau dessus de C
gC
fen dessous de C
gAinsi C
fest en dessous de C
gsur ] ; 11/12[ ]1;+ [ et C
fest au dessus de C
gsur
11 12 1 . Les deux courbes se coupent aux points d abscisses 11
12 et 1.
C. On cherche à résoudre l équation g (x ) h( x). La VI est 1.
g( x) h ( x) 4x ² 5x 6 3 x 6
x 1 (4x ² 5x 6)(x 1) x 1
3x 6 x 1
( 4x
35 x² 6 x 4 x² 5 x 6 ) ( 3x 6 )
x 1 0
4 x
39 x² 2x
x 1 0
x(4 x² 9 x 2)
x 1 0
x (4x ² 9x 2) 0 et x 1 0 (x 0 ou 4 x² 9 x 2 0) et x 1 On résout 4 x² 9x 2 0 :
49 0 donc l équation a deux solutions : x
1−1
4 et x
22.
Ainsi , g ( x) h( x) (x 0 ou x 1
4 ou x 2) et x 1
Les abscisses des points d intersection des courbes de g et h sont 0 ; 1
4 et 2.
g(0) 6 ; g
14
7 et g ( 2) 0. Les points d intersection des courbes de g et h ont pour coordonnées (0 6) ;
14
7 et ( 2 0).
D. On étudie le signe de g (x ) h ( x).
D après la question précédente, g (x ) h (x ) x (4x ² 9x 2)
x 1 et on peut construire le tableau suivant:
x 2 1/4 0 1 + x
4 x² 9x 2 x 1 g(x ) h (x )
position relative
C
gau dessus de
C
hC
gen dessous de
C
hC
gau dessus de
C
hC
gen dessous de
C
hC
gau dessus de
C
hII. La courbe coupe deux fois l axe des abscisses donc 0.
1. La forme canonique de f (x) s écrit a (x )
2où a, α et sont des réels. La fonction est décroissante puis croissante donc a 0.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées (1 3) donc 1 et 3. Ainsi, f( x) a( x 1)
23.
f(0) 1 donc a(0 1)² 3 1, c'est-à-dire a 2.
La forme canonique de f (x ) est f( x) 2( x 1)² 3.
2. f( x) 2( x 1)² 3 2( x² 2x 1) 3 2x ² 4x 1.
24 0 donc f (x ) a deux racines : x
12 6
2 et x
22 6
2 . Alors, pour tout réel x, f( x ) 2
x
2 62
x
2 62
.
V. Soit x le nombre d ouvriers dans l équipe initiale et y le nombre de mètres prévu initialement pour chaque ouvrier.
On a le système (S ) :
xy 648
(x 6)(y 9) 648 . (S )
y 648x
(x 6)
648x
9 648
y 648x
648
3888x
9 x 54 648
y 648x
3888 9x² 54x
x
0
Résolution de 388 9 x² 54x
x 0. La VI est 0.
388 9 x² 54x
x 0 9x² 54x 3888 0 et x 0
Résolution de 9 x² 54x 3888 0 : 142884 donc 2 solutions : x
124 et x
218.
Ainsi, (S )
y
648 xx 24 ou x 18
x 24 y 27 ou
x 18
y 36 .
x et y devant être positifs, on peut conclure : il y avait 24 ouvriers dans l équipe initiale.
VI. Soient x et y deux nombres dont la somme est 4 et le produit 4. On a le système (S ) :
x y 4
xy 4
(S )
y 4 x
x (4 x ) 4
y 4 x
x² 4 x 4 0 Résolution de x² 4x 4 0 :
32 donc l équation a deux solutions : x
12 2 2 et x 2 2 2 2 . Ainsi (S)
y 4 x
x 2 2 2 ou x 2 2 2
y 2 2 2 x 2 2 2 ou