• Aucun résultat trouvé

B. On étudie le signe de f (x ) g ( x).

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "B. On étudie le signe de f (x ) g ( x). "

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

SECOND DEGRE EXERCICES CORRECTION

I. Pour revoir les méthodes du chapitre.

f, g et h sont les fonctions définies sur par f( x) (x 3)² (3x 2)² ; g (x ) 4 x ² 5x 6 et h( x) 3 x 6 x 1 .

B. On étudie le signe de f (x ) g ( x).

D après la partie A, f (x ) 8x ² 6x 5

Alors, pour tout réel x, f ( x) g ( x) 8x ² 6x 5 (4 x² 5 x 6) 12 x 11.

On cherche alors le signe du trinôme 12x ² x 11.

529 0 donc le trinôme a deux racines : x

1

1 529

2 ( 12) 1 et x

2

11 12 . On peut alors construire le tableau suivant (puisque a 12 0) :

x 11

12 1 + signe de f(x ) g( x)

Position relative de C

f

et C

g

C

f

en dessous de C

g

C

f

au dessus de C

g

C

f

en dessous de C

g

Ainsi C

f

est en dessous de C

g

sur ] ; 11/12[ ]1;+ [ et C

f

est au dessus de C

g

sur

 

  11 12 1 . Les deux courbes se coupent aux points d abscisses 11

12 et 1.

C. On cherche à résoudre l équation g (x ) h( x). La VI est 1.

g( x) h ( x)  4x ² 5x 6 3 x 6

x 1  (4x ² 5x 6)(x 1) x 1

3x 6 x 1

 ( 4x

3

5 6 x 4 5 x 6 ) ( 3x 6 )

x 1 0

 4 x

3

9 x² 2x

x 1 0

x(4 x² 9 x 2)

x 1 0

 x (4x ² 9x 2) 0 et x 1  0  (x 0 ou 4 x² 9 x 2 0) et x  1 On résout 4 x² 9x 2 0 :

49 0 donc l équation a deux solutions : x

1

−1

4 et x

2

2.

Ainsi , g ( x) h( x)  (x 0 ou x 1

4 ou x 2) et x  1

Les abscisses des points d intersection des courbes de g et h sont 0 ; 1

4 et 2.

g(0) 6 ; g

 

 

1

4

7 et g ( 2) 0. Les points d intersection des courbes de g et h ont pour coordonnées (0 6) ;

 

 

1

4

7 et ( 2 0).

(2)

D. On étudie le signe de g (x ) h ( x).

D après la question précédente, g (x ) h (x ) x (4x ² 9x 2)

x 1 et on peut construire le tableau suivant:

x 2 1/4 0 1 + x

4 x² 9x 2 x 1 g(x ) h (x )

position relative

C

g

au dessus de

C

h

C

g

en dessous de

C

h

C

g

au dessus de

C

h

C

g

en dessous de

C

h

C

g

au dessus de

C

h

II. La courbe coupe deux fois l axe des abscisses donc 0.

1. La forme canonique de f (x) s écrit a (x )

2

où a, α et sont des réels. La fonction est décroissante puis croissante donc a 0.

Le sommet de la parabole a pour coordonnées (1 3) donc 1 et 3. Ainsi, f( x) a( x 1)

2

3.

f(0) 1 donc a(0 1)² 3 1, c'est-à-dire a 2.

La forme canonique de f (x ) est f( x) 2( x 1)² 3.

2. f( x) 2( x 1)² 3 2( x² 2x 1) 3 2x ² 4x 1.

24 0 donc f (x ) a deux racines : x

1

2 6

2 et x

2

2 6

2 . Alors, pour tout réel x, f( x ) 2

 

  x

2 6

2

 

  x

2 6

2

.

V. Soit x le nombre d ouvriers dans l équipe initiale et y le nombre de mètres prévu initialement pour chaque ouvrier.

On a le système (S ) :

xy 648

(x 6)(y 9) 648 . (S ) 

 

y

648x

(x 6)

 

 

648

x

9 648 

 

y

648x

648

3888

x

9 x 54 648 

 

y

648x

3888 9x² 54x

x

0

Résolution de 388 9 x² 54x

x 0. La VI est 0.

388 9 x² 54x

x 0  9x² 54x 3888 0 et x  0

Résolution de 9 x² 54x 3888 0 : 142884 donc 2 solutions : x

1

24 et x

2

18.

Ainsi, (S ) 

 

y

648 x

x 24 ou x 18

x 24 y 27 ou

x 18

y 36 .

x et y devant être positifs, on peut conclure : il y avait 24 ouvriers dans l équipe initiale.

VI. Soient x et y deux nombres dont la somme est 4 et le produit 4. On a le système (S ) :

x y 4

xy 4

(S ) 

y 4 x

x (4 x ) 4 

y 4 x

x² 4 x 4 0 Résolution de x² 4x 4 0 :

32 donc l équation a deux solutions : x

1

2 2 2 et x 2 2 2 2 . Ainsi (S) 





y 4 x

x 2 2 2 ou x 2 2 2 





y 2 2 2 x 2 2 2 ou





y 2 2 2

x 2 2 2 .

(3)

Les couples de nombres dont la somme est 4 et le produit 4 sont ( 2 2 2 2 2 2 ) et ( 2 2 2 2 2 2 )

VII. Soit (E) l’équation –3x ² 5x–4 m 0 où m est un réel fixé.

1. L’équation ( E) a une unique solution ssi son discriminant est nul.

25 48m

0  25 48m 0  m 25

48 . L’équation (E ) a une unique solution ssi m 25 48 . 2. 1 est solution de (E ) ssi 3 ( 1)² 5 ( 1) 4m 0

ssi 8 4 m 0 ssi m 2 1 est solution de (E ) ssi m 2.

3. Le trinôme est toujours négatif ssi a 0 et 0 Ici, a 3 0.

ssi 25 48m 0 ssi m 25

48

Références

Documents relatifs

[r]

Vous allez programmer une feuille de calcul permettant de déterminer les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues, en vous aidant des

La fonction m

La fonction m

Exprimer, en fonction de x , le volume que peuvent occuper les bonbons dans la boîte.. Dans la pratique, x est compris entre 0,5

1 Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.. Pour chaque question, entoure la

1 Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.. Pour chaque question, entoure la

Soit f et g deux fonctions l'une croissante et l'autre décroissante sur l'intervalle [-3