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FONCTIONS AFFINES PARTIE 2
En bleu, ce qui aurait pu être dit à l oral II. Variations et signe
1. Sens de variation d une fonction (rappels)
On dit qu’une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels x et y dans I ; si x y alors. f(x) f(y)
On dit qu’une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels x et y dans I ; si x y alors. f(x) f(y)
f est croissante (la courbe monte) f est décroissante (la courbe descend)
x y et f(x) f(y) x y et f(x) f(y)
Les images sont rangées dans le même Les images sont rangées dans
ordre que les nombres de départ l ordre inverse des nombres de départ
2. Sens de variation d'une fonction affine
On a vu que la représentation graphique d'une fonction affine est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées et la réciproque est vraie.
Assez intuitivement, on peut voir que l'on est dans l'un des trois cas suivant :
la fonction semble croissante la fonction semble décroissante la fonction semble constante On observe que le sens de variation semble dépendre du signe de m. Si m est positif, la fonction semble croissante et si m est négatif la fonction semble décroissante.
Ces conjectures sont vraies et on a la propriété suivante :
Propriété 4 :
Soit 𝑓une fonction affine définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝 où 𝑚 et 𝑝 sont deux réels donnés.
Si 𝑚> 0 alors 𝑓est strictement croissante.
Si 𝑚= 0 alors 𝑓est constante.
Si 𝑚< 0 alors 𝑓est strictement décroissante.
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Démonstration : Vous devez essayer de comprendre la démonstration. Si vous n'y arrivez pas, cela n'est pas « très grave ».
Pour étudier le sens de variation d'une fonction on utilise la définition du 1) Cas où m 0 :
Soient x et y deux réels tels que x y x y donc mx my car m 0 donc on garde le sens de l inégalité
donc mx p my p
c'est-à-dire f(x) f(y) f est donc croissante sur .
Cas où m 0 :
Soient x et y deux réels tels que x y x y donc m x my car m 0 donc on change le sens de l inégalité
donc m x p my p c'est-à-dire f(x) f(y) f est donc croissante sur .
Exemples : Faites l’exemple sur un brouillon avant de regarder la correction.
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 15 définit une fonction affine strictement croissante car 𝑚 = 3 et 𝑚> 0
𝑔(𝑥) = 5 −3
7𝑥 définit une fonction affine strictement décroissante car 𝑚 = −3
7 et 𝑚< 0
3. Signe de mx p avec m non nul
Étudier le signe de 𝑚𝑥 + 𝑝 c'est déterminer pour quelles valeurs de 𝑥, 𝑚𝑥 + 𝑝 ⩾ 0et pour quelles valeur de
𝑥, 𝑚𝑥 + 𝑝 ≤ 0. On présente les résultats dans un tableau.
Méthode algébrique.
On va résoudre l'inéquation 𝑚𝑥 + 𝑝 > 0 et l inéquation 𝑚𝑥 > −𝑝
mx p 0 mx p
Il faut ensuite diviser les deux membres de l'inégalité par 𝑚. On a donc besoin du signe de 𝑚 pour savoir si on change l inégalité de sens.
Si 𝑚 > 0, 𝑥 >−𝑝
𝑚et si 𝑚 < 0, 𝑥 <−𝑝
𝑚
On a les deux cas suivants :
Méthode graphique :
Assez intuitivement, on peut voir que l'on est dans l'un des deux cas suivant :
la droite "monte", elle est d abord en dessous la droite "descend", elle est d abord en dessus de l axe des abscisses (moins) puis au dessus de l axe des abscisses (plus) puis au dessous
(plus) (moins)
si 𝒎 > 0
On a établi que 𝑚𝑥 + 𝑝 > 0si 𝑥 >−𝑝
𝑚. Cela permet de placer le « + » dans la partie droite du
tableau.
De même 𝑚𝑥 + 𝑝 < 0si 𝑥 <−𝑝
𝑚. De même 𝑚𝑥 + 𝑝 = 0si 𝑥 =−𝑝
𝑚.
𝑥 ∞ −𝑝𝑚 + ∞ 𝑚𝑥 + 𝑝 0 +
si 𝒎 < 0
On a établi que 𝑚𝑥 + 𝑝 > 0si 𝑥 <−𝑝
𝑚. Cela permet de placer le « + » dans la partie gauche du tableau.
De même 𝑚𝑥 + 𝑝 < 0si 𝑥 >−𝑝
𝑚. De même 𝑚𝑥 + 𝑝 = 0si 𝑥 =−𝑝
𝑚.
𝑥 ∞ −𝑝𝑚
+ ∞
𝑚𝑥 + 𝑝 + 0
3/3 On conjecture graphiquement le signe d'une fonction, en étudiant la position de sa courbe par rapport à l'axe des abscisses. Lorsque la courbe est au dessus de l'axe des abscisses, la fonction est positive. Lorsque la courbe est en dessous de l'axe des abscisses, la fonction est négative. On obtient donc le résultat ci-dessous : Ce résultat est à retenir ou à savoir retrouver rapidement !
Si 𝑚 > 0
𝑥 −𝑝
𝑚 +
Signe 𝑚𝑥 + 𝑝
Si 𝑚 < 0
𝑥 −𝑝
𝑚 +
Signe 𝑚𝑥 + 𝑝
Dans la pratique, on ne retient pas par cœur p
m . On le retrouve en résolvant l équation f(x) 0. Et soit on apprend par cœur l ordre des signes suivant le signe de m, soit on le retrouve en pensant :
"si m 0, la droite monte donc on va du vers le , on met donc d abord le dans le tableau puis le "
et "si m 0, la droite descend donc on va du vers le , on met donc d abord le dans le tableau puis le
"
Exemple : Dresser le tableau de signes de −4𝑥 + 3 et de 13𝑥 + 4.
Méthode à connaître : Pour dresser le tableau de signes d'une expression du type mx p, on commence par résoudre mx p 0 puis on dresse le tableau de signe, en utilisant le résultat ci-dessus.
−4𝑥 + 3 = 0 −4𝑥 = −3 𝑥 =3
4
Ici, 𝑚 = −4 et 𝑝 = 3. On est donc dans le cas 𝑚 <
0. Les signes sont donc + puis .
𝑥 3
4 +∞
Signe de
1
3𝑥 = −4 + 0 -
1
3𝑥 + 4 = 0 1
3𝑥 = −4 𝑥 = −4 × 3 𝑥 = −12
Ici, 𝑚 =1
3et 𝑝 = 4. On est donc dans le cas
𝑚 > 0. Les signes sont donc - puis +.
𝑥 -12 +
Signe de
1
3𝑥 + 4 - 0 +
