INÉQUATIONS PRODUITS ET QUOTIENTS
I. Signe d une fonction affine.
Une fonction affine est définie par f( x) mx p où m et p sont des réels.
Si m 0 : la fonction est croissante Si m 0 : la fonction est décroissante
On a le tableau de signes : On a le tableau de signes :
x x
m x p m x p
Exemples : compléter les tableaux de signes de 2 x 4 et de 3 x 6 x 2
2 x 4
2x 4 0 pour x 2
2 0 donc on commence par x 2 3 x 6
3 x 6 0 pour x 2
3 0 donc on commence par II. Inéquations produits.
Méthode pour résoudre une inéquation quotient :
On "passe tout du même côté"
On factorise
On construit un tableau de signes
On conclut en donnant l ensemble des solutions
Exemple 1 :
Voici la courbe de la fonction f définie par f (x ) (2x 3)(‒3 x 1)
Résoudre graphiquement (2 x 3)(‒3 x 1) 0.
Graphiquement, il semble que f (x ) 0 a pour ensemble de solutions ] 1,5 0,3[
Résoudre par le calcul (2x 3)(‒3 x 1) 0.
On construit un "grand" tableau de signes.
x − 1,5 1/3 +
2 x 3 0 pour x 1,5 3 x 1 0 pour x 1/3 2
x3
3x 1 (2x 4)( 3x 9) S
1,5 1
3 .
Exemple 2 :
Voici la courbe de la fonction f définie par f (x ) x² 5x ‒4 :
Résoudre graphiquement x² 5 x‒4 4.
On cherche pour quelles valeurs de x la courbe est au dessus de la droite passant par les points d ordonnée 4.
Graphiquement, il semble que f( x) 4 a pour ensemble de solutions
] 5] [0 [
Résoudre par le calcul x ² 5x‒4 4.
x² 5 x‒4 4 x² 5x 0 x (x 5) 0. On fait un tableau de signes :
x − 5 0 +x 0
x 5 0 pour x 5
x x
5
x(x5)
S ] 5] [0 [
III. Inéquations quotients.
Méthode pour résoudre une inéquation quotient :
On cherche les valeurs interdites
On "passe tout du même côté"
On réduit au même dénominateur
On développe et on simplifie le numérateur
On construit un tableau de signes (en mettant une double barre pour la valeur interdite)
On conclut en donnant l ensemble des solutions
Exemple 1 :
Voici la courbe de la fonction f définie par f (x ) 2 x 3 x 4 .
Résoudre graphiquement f (x ) 0.
La valeur interdite semble être 4 et il semble que l ensemble des
solutions soit S 4[ ] 1,5 [.
Résoudre par le calcul f (x) 0.
x 4 0 x 4. La valeur interdite est 4.
f( x) 0 2x 3
x 4 0. On construit un tableau de signes en procédant comme pour le produit, à l exception des 0 sur la dernière ligne.
x
4 3/2 +
2x 3 2x 3 0 pour x 3
2
x
4 x 4 0 pour x 4
2x 3
x4
on ne peut pas diviser 0 divisé par un nombre
par 0 : 4 est valeur donne 0 donc on met 0
interdite donc on met sur le trait en dessous de 3/2.
une double barre.
Ainsi f(x) 0 a pour ensemble de solutions : S ] 4[
32 .
Exemple 2 :
Voici la courbe de la fonction f définie par f (x ) 2 x 4 x 2 .
Résoudre graphiquement f(x ) 0.
La valeur interdite semble être
2 et il semble que l ensemble des solutions soit S ]−2 2].
On ne prend pas le 2 car f( 2) semble ne pas exister, et donc on n a pas f ( 2) 0.
Résoudre par le calcul f (x) 0.
x 2 0 x 2. La valeur interdite est 2.
f( x) 0 2x 4
x 2 0. On construit le tableau de signes :
x
2 2 +
2x 4 2 x 4 0 pour x 2
x
2 + x 2 0 pour x 2
2x 4
x2
Ainsi f(x ) 0 a pour ensemble de solutions : S ]−2 2].
La valeur interdite ne fait jamais partie de l ensemble des solutions : on ouvre toujours le crochet de
son côté.
Exemple 3 :
Résoudre par le calcul : x 2 3 x 1 4.
3x 1 0 x 1
3 . La valeur interdite est 1 3 . x 2
3x 1 4 x 2
3 x 1 4 0 (x 2) 4(3 x 1)
3 x 1 0
x 2 12x 4
3x 1 0
11 x 6
3 x 1 0
x
1/3 6/11 +
11
x6 11x 6 0 pour x 6/11
3
x1 + 3 x 1 0 pour x 1/3
11x 6 3x 1
Ainsi
x2
3
x1 4 a pour ensemble de solutions : S
1 3
6
11 .
Exemple 4 :
Résoudre par le calcul : x 3 2 x 5
3x 2 6x 1
2x 5 0 x 5
2 et 6x 1 0 x 1 6 . Les deux valeurs interdites sont 5
2 et 1 6 . x 3
2x 5
3 x 2
6x 1 x 3 2 x 5
3x 2
6x 1 0
( x 3)(6 x 1) (3 x 2)(2x 5)
(2x 5)(6x 1) 0
6 x² 18x x 3 6 x² 15x 4x 10
(2x 5)(6x 1) 0
2x 13
(2 x 5)(6 x 1) 0
x
