Fiche exercices tableau de signes
Correction 1
Une video est accessible
1. x −∞ −3 −1
2 +∞
2x+ 1 − − 0 +
3 +x − 0 + +
(2x+1)(3+x) + 0 − 0 +
2. x −∞ 3
4 2 +∞
2−x + + 0 −
4x−3 − 0 + +
(2−x)(4x−3) − 0 + 0 −
3. x −∞ −2 2 +∞
2 +x − 0 + +
2−x + + 0 −
2 +x
2−x − 0 + −
4. x −∞ −1
4 0 1 +∞
4x+ 1 − 0 + + +
x−1 − − − 0 +
x − − 0 + +
(4x+1)(x−1)
x − 0 + − 0 +
Correction 2
Une video est accessible
1. On a le tableau de signes suivant :
x −∞ −4 1
2 +∞
x+4 − 0 + +
1−2x + + 0 −
(x+4)(1−2x) − 0 + 0 −
On en déduit que l'inéquation (x+4)(1−2x)⩾0 admet pour ensemble de solutions :
S= [−4 ;1
2 ]
2. On a la factorisation suivante : x2−1
x+ 2 = (x+ 1)(x−1) x+ 2
On a le tableau de signes suivant :
x −∞ −2 −1 1 +∞
x+1 − − 0 + +
x−1 − − − 0 +
x+2 − 0 + + +
x2−1
x+2 − + 0 − 0 +
Ainsi, l'équation x2−1
x+2 <0 admet pour solution d'après le tableau de signes l'ensemble suivant :
S=]
−∞;−2[
∪]
−1 ; 1[ Correction 3
1. On a le développement suivant : (x−1)(x−5) =x2−5x−x+ 5
=x2−6x+ 5
2. On a les manipulations algébriques suivantes : (x−3)2−4
3−2x <0 (x2−6x+ 9)−4
3−2x <0 x2−6x+ 5
3−2x <0
D'après le résultat de la question 1. : (x−1)(x−5)
3−2x <0
On a le tableau de signes suivants :
x −∞ 1 3
2 5 +∞
x−1 − 0 + + +
x−5 − − − 0 +
3−2x + + 0 − −
(x−1)(x−5)
3−2x + 0 − + 0 −
Ainsi, l'inéquation a pour solution l'ensemble suivant : S=
] 1 ; 3
2 [∪]
5 ; +∞[ Correction 4
a. L'expression du membre de gauche est donnée sous la forme d'un produit. On a le tableau de signes :
x −∞ −3 2 +∞
3 +x − 0 + +
2−x + + 0 −
(3+x)(
2−x)
− 0 + 0 −
On en déduit que l'ensemble des solutions de cette in- équation est :
S=]
− ∞;−3]
∪[
2 ; +∞[
b. Factorisons le numérateur du membre de gauche : x2−x
2x+ 4 = x·( x−1) 2x+ 4
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On obtient le tableau de signes :
x −∞ −2 0 1 +∞
x − − 0 + +
x−1 − − − 0 +
2x+4 − 0 + + +
x2−x
2x+4 − + 0 − 0 +
On en déduit l'ensemble des solutions de cette inéqua- tion :
S=]
−2 ; 0]
∪[ 1 ; +∞[
c. On reconnaît dans le facteurx2+6x+9 l'expression de la première identité remarquable avec :
a=x ; b= 3
On en déduit les valeurs :
a2=x2 ; 2ab= 6x ; b2= 9. On en déduit : x2+6x+9 =(
x+3)2
L'inéquation proposée se transforme en :( 2x−1)(
x2+ 6x+ 9)
<0 (2x−1)(
x+ 3)2
<0 (2x−1)(
x+ 3)(
x+ 3)
<0
L'expression du membre de gauche est donnée sous la forme d'un produit. On a le tableau de signes :
x −∞ −3 12 +∞
2x−1 − − 0 +
x+ 3 − 0 + 0 +
x+ 3 − 0 + 0 +
(2x−1)(x2+6x+9) − 0 − 0 + Cette inéquation admet pour ensemble de solutions :
S=]
−∞;−3[
∪]
−3 ;1 2 [
Correction 5
Une video est accessible 1. Considérons l'inéquation :
(2x−1)(3−x)⩾(2x−1)(5x+ 1) (2x−1)(3−x)−(2x−1)(5x+ 1)⩾0
(2x−1)[
(3−x)−(5x+ 1)]
⩾0 (2x−1)(3−x−5x−1)⩾0 (2x−1)(−6x+ 2)⩾0
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
2x−1 = 0 2x= 1 x=1 2
−6x+ 2 = 0
−6x=−2 x= −2
−6 x= 1
3 On en déduit le tableau de signes :
x −∞ 13 12 +∞
2x−1 − − 0 +
−6x+ 2 + 0 − −
(2x−1)(−6x+2) − 0 + 0 − Cette inéquation admet pour ensemble de solutions :
S= [1
3; 1 2 ]
2. a. Etablissons l'égalité : 3x−6
2x+ 3−4−7x 2x−2 =
(3x−6)(
2x−2) (2x+ 3)(
2x−2)−
(4−7x)(
2x+ 3) (2x−2)(
2x+ 3)
=6x2−6x−12x+ 12 (2x+ 3)(
2x−2) −8x+ 12−14x2−21x (2x−2)(
2x+ 3)
=6x2−6x−12x+ 12 (2x+ 3)(
2x−2) −8x+ 12−14x2−21x (2x−2)(
2x+ 3)
=
(6x2−6x−12x+ 12)
−(
8x+ 12−14x2−21x) (2x−2)(
2x+ 3)
=6x2−6x−12x+ 12−8x−12 + 14x2+ 21x (2x−2)(
2x+ 3)
= 20x2−5x (2x−2)(
2x+ 3)= 5x·( 4x−1) (2x−2)(
2x+ 3) b. Considérons l'inégalité :
3x−6
2x+ 3 < 4−7x 2x−2 3x−6
2x+ 3 −4−7x 2x−2 <0 5x·(
4x−1) (2x−2)(
2x+ 3) <0 On a le tableau de signes :
x −∞ −32 0 14 1 +∞
5x − − 0 + + +
4x−1 − − − 0 + +
2x−2 − − − − 0 +
2x+ 3 − 0 + + + +
5x·(
4x−1) (
2x−2)(
2x+3) + − 0 + 0 − +
On en déduit l'ensemble des solutions de l'inéquation : S=
]−3 2; 0
[∪]1 4; 1
[
Correction 6
1. On a le développement suivant :
(x−1)(x+ 3) =x2+ 3x−x−3 =x2+ 2x−3 2. On a les manipulations algébriques suivants :
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5x+ 1
1−2x+3x+ 3 x >0 x(5x+ 1)
x(1−2x)+(1−2x)(3x+ 3) x(1−2x) >0 x(5x+ 1) + (1−2x)(3x+ 3)
x(1−2x) >0 5x2+x+ 3x+ 3−6x2−6x
x(1−2x) >0
−x2−2x+ 3 x(1−2x) >0
−(
x2+ 2x−3) x(1−2x) >0
D'après le développement de la question 1. :
−(x−1)(x+ 3) x(1−2x) >0 On obtient le tableau de signes suivant :
x −∞ −3 0 1
2 1 +∞
−(x−1) + + + + 0 −
x+ 3 − 0 + + + +
x − − 0 + + +
1−2x + + + 0 − −
−(x−1)(x+3)
x(1−2x) + 0 − + 0 − +
L'ensemble des solutions est : S=
]−∞;−3 [∪]
0 ;1 2
[∪] 1 ; +∞[ Correction 7
a. On a les transformations algébriques suivantes : 2x−4
4x+ 1 ⩽ 3x+ 5 6x 2x−4
4x+ 1 −3x+ 5 6x ⩽0 (2x−4)·6x
(4x+ 1)·6x−(3x+ 5)(4x+ 1) 6x·(4x+ 1) ⩽0 (12x2−24x)
−(
12x2+ 3x+ 20x+ 5) 6x·(4x+ 1) ⩽0 12x2−24x−12x2−23x−5
6x·(4x+ 1) ⩽0
−47x−5 6x·(4x+ 1) ⩽0
−47x−5 6x·(4x+ 1) ⩽0 On a le tableau de signes suivant :
x −∞ −1
4 −5
47 0 +∞
−47x−5 + + 0 − −
4x+ 1 − 0 + + +
6x − − − 0 +
−47x−5
6x(4x+ 1) + − 0 + −
Ainsi, cette inéquation admet pour ensemble de solu- tion :
S= ]−1
4;−5 47
]∪] 0 ; +∞[
b. On remarque la factorisation suivante : x2−5
3x2+ 2√
3x+ 1 =
(x+√ 5)(
x−√ 5) (√
3x+ 1)2 On a le tableau de signes suivant :
x −∞ −√
5 − 1
√3
√5 +∞
x+√
5 − 0 + + +
x−√
5 − − − 0 +
(√
3x+ 1)2 + + 0 + +
x2−5 3x2+ 2√
3x+ 1 + 0 − − 0 +
Cette inéquation admet pour ensemble des solutions : S=[
−√ 5 ;√
5]
\{
− 1
√3 }
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