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Fiche exercices tableau de signes

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Fiche exercices tableau de signes

Correction 1

Une video est accessible

1. x −∞ 3 1

2 +

2x+ 1 0 +

3 +x 0 + +

(2x+1)(3+x) + 0 0 +

2. x −∞ 3

4 2 +

2−x + + 0

4x3 0 + +

(2−x)(4x−3) 0 + 0

3. x −∞ 2 2 +

2 +x 0 + +

2−x + + 0

2 +x

2−x 0 +

4. x −∞ −1

4 0 1 +

4x+ 1 0 + + +

x−1 0 +

x 0 + +

(4x+1)(x1)

x 0 + 0 +

Correction 2

Une video est accessible

1. On a le tableau de signes suivant :

x −∞ 4 1

2 +

x+4 0 + +

12x + + 0

(x+4)(12x) 0 + 0

On en déduit que l'inéquation (x+4)(12x)⩾0 admet pour ensemble de solutions :

S= [4 ;1

2 ]

2. On a la factorisation suivante : x21

x+ 2 = (x+ 1)(x1) x+ 2

On a le tableau de signes suivant :

x −∞ 2 1 1 +

x+1 0 + +

x−1 0 +

x+2 0 + + +

x21

x+2 + 0 0 +

Ainsi, l'équation x21

x+2 <0 admet pour solution d'après le tableau de signes l'ensemble suivant :

S=]

−∞;2[

]

1 ; 1[ Correction 3

1. On a le développement suivant : (x1)(x5) =x25x−x+ 5

=x26x+ 5

2. On a les manipulations algébriques suivantes : (x3)24

32x <0 (x26x+ 9)4

32x <0 x26x+ 5

32x <0

D'après le résultat de la question 1. : (x1)(x5)

32x <0

On a le tableau de signes suivants :

x −∞ 1 3

2 5 +

x−1 0 + + +

x−5 0 +

32x + + 0

(x1)(x5)

32x + 0 + 0

Ainsi, l'inéquation a pour solution l'ensemble suivant : S=

] 1 ; 3

2 []

5 ; +[ Correction 4

a. L'expression du membre de gauche est donnée sous la forme d'un produit. On a le tableau de signes :

x −∞ 3 2 +

3 +x 0 + +

2−x + + 0

(3+x)(

2−x)

0 + 0

On en déduit que l'ensemble des solutions de cette in- équation est :

S=]

− ∞;3]

[

2 ; +[

b. Factorisons le numérateur du membre de gauche : x2−x

2x+ 4 = ( x−1) 2x+ 4

https ://chingatome.fr

(2)

On obtient le tableau de signes :

x −∞ 2 0 1 +

x 0 + +

x−1 0 +

2x+4 0 + + +

x2x

2x+4 + 0 0 +

On en déduit l'ensemble des solutions de cette inéqua- tion :

S=]

2 ; 0]

[ 1 ; +[

c. On reconnaît dans le facteurx2+6x+9 l'expression de la première identité remarquable avec :

a=x ; b= 3

On en déduit les valeurs :

a2=x2 ; 2ab= 6x ; b2= 9. On en déduit : x2+6x+9 =(

x+3)2

L'inéquation proposée se transforme en :( 2x1)(

x2+ 6x+ 9)

<0 (2x1)(

x+ 3)2

<0 (2x1)(

x+ 3)(

x+ 3)

<0

L'expression du membre de gauche est donnée sous la forme d'un produit. On a le tableau de signes :

x −∞ 3 12 +

2x1 0 +

x+ 3 0 + 0 +

x+ 3 0 + 0 +

(2x1)(x2+6x+9) 0 0 + Cette inéquation admet pour ensemble de solutions :

S=]

−∞;3[

]

3 ;1 2 [

Correction 5

Une video est accessible 1. Considérons l'inéquation :

(2x1)(3−x)⩾(2x1)(5x+ 1) (2x1)(3−x)−(2x1)(5x+ 1)⩾0

(2x1)[

(3−x)−(5x+ 1)]

⩾0 (2x1)(3−x−5x1)⩾0 (2x1)(6x+ 2)⩾0

Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :

2x1 = 0 2x= 1 x=1 2

6x+ 2 = 0

6x=2 x= 2

6 x= 1

3 On en déduit le tableau de signes :

x −∞ 13 12 +

2x1 0 +

6x+ 2 + 0

(2x1)(6x+2) 0 + 0 Cette inéquation admet pour ensemble de solutions :

S= [1

3; 1 2 ]

2. a. Etablissons l'égalité : 3x6

2x+ 347x 2x2 =

(3x6)(

2x2) (2x+ 3)(

2x2)

(47x)(

2x+ 3) (2x2)(

2x+ 3)

=6x26x12x+ 12 (2x+ 3)(

2x2) 8x+ 1214x221x (2x2)(

2x+ 3)

=6x26x12x+ 12 (2x+ 3)(

2x2) 8x+ 1214x221x (2x2)(

2x+ 3)

=

(6x26x12x+ 12)

(

8x+ 1214x221x) (2x2)(

2x+ 3)

=6x26x12x+ 128x12 + 14x2+ 21x (2x2)(

2x+ 3)

= 20x25x (2x2)(

2x+ 3)= 5x·( 4x1) (2x2)(

2x+ 3) b. Considérons l'inégalité :

3x6

2x+ 3 < 47x 2x2 3x6

2x+ 3 47x 2x2 <0 5x·(

4x1) (2x2)(

2x+ 3) <0 On a le tableau de signes :

x −∞ −32 0 14 1 +

5x 0 + + +

4x1 0 + +

2x2 0 +

2x+ 3 0 + + + +

5x·(

4x1) (

2x2)(

2x+3) + 0 + 0 +

On en déduit l'ensemble des solutions de l'inéquation : S=

]3 2; 0

[]1 4; 1

[

Correction 6

1. On a le développement suivant :

(x1)(x+ 3) =x2+ 3x−x−3 =x2+ 2x3 2. On a les manipulations algébriques suivants :

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(3)

5x+ 1

12x+3x+ 3 x >0 x(5x+ 1)

x(1−2x)+(12x)(3x+ 3) x(1−2x) >0 x(5x+ 1) + (12x)(3x+ 3)

x(1−2x) >0 5x2+x+ 3x+ 36x26x

x(1−2x) >0

−x22x+ 3 x(1−2x) >0

(

x2+ 2x3) x(1−2x) >0

D'après le développement de la question 1. :

(x1)(x+ 3) x(1−2x) >0 On obtient le tableau de signes suivant :

x −∞ −3 0 1

2 1 +

(x1) + + + + 0

x+ 3 0 + + + +

x 0 + + +

12x + + + 0

(x1)(x+3)

x(1−2x) + 0 + 0 +

L'ensemble des solutions est : S=

]−∞;3 []

0 ;1 2

[] 1 ; +[ Correction 7

a. On a les transformations algébriques suivantes : 2x4

4x+ 1 ⩽ 3x+ 5 6x 2x4

4x+ 1 3x+ 5 6x ⩽0 (2x4)·6x

(4x+ 1)·6x(3x+ 5)(4x+ 1) 6x·(4x+ 1) ⩽0 (12x224x)

(

12x2+ 3x+ 20x+ 5) 6x·(4x+ 1) ⩽0 12x224x12x223x5

6x·(4x+ 1) ⩽0

47x5 6x·(4x+ 1) ⩽0

47x5 6x·(4x+ 1) ⩽0 On a le tableau de signes suivant :

x −∞ 1

4 5

47 0 +

47x5 + + 0

4x+ 1 0 + + +

6x 0 +

47x5

6x(4x+ 1) + 0 +

Ainsi, cette inéquation admet pour ensemble de solu- tion :

S= ]1

4;5 47

]] 0 ; +[

b. On remarque la factorisation suivante : x25

3x2+ 2√

3x+ 1 =

(x+√ 5)(

x−√ 5) (√

3x+ 1)2 On a le tableau de signes suivant :

x −∞

5 1

√3

√5 +

x+√

5 0 + + +

x−

5 0 +

(√

3x+ 1)2 + + 0 + +

x25 3x2+ 2√

3x+ 1 + 0 0 +

Cette inéquation admet pour ensemble des solutions : S=[

√ 5 ;√

5]

\{

1

√3 }

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