b) La loi de G est donnée par le tableau :

Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 P

− exe

Ex. 2p285 Ex. 2p285 Ex. 2p285 Ex. 2p285

1) a) La variable G prend les valeurs 1000 ou 1250 et 1500.

b) La loi de G est donnée par le tableau :

a 1000 1250 1500

P ( G ⁼ a ) 3 5

1 5

1 5 2) a) E ( G ) est donc la moyenne des valeurs de G , compte tenu des probabilités.

Or tout se passe comme si, sur 5 parties jouées, le gain était 3 fois de 1000 €, 1 fois de 1250 € et 1 fois de 1500 € de sorte de la moyenne est 3 × 1000 + 1 × 1250 + 1 × 1500

5 .

Ainsi E ( G ) = 3

5 × 1000 + 1

5 × 1250 + 1

5 × 1500 = 1150.

b) G est exprimée en € donc sa valeur moyenne E ( G ) également : E ( G ) = 1150 €.

c) Il n'est pas possible de gagner 1150 € sur une partie.

d) En moyenne on gagne 1150 € par partie.

Donc en moyenne on gagne 100 × 1150 = 115 000 € sur cent parties.

Ex. 19p290 Ex. 19p290 Ex. 19p290 Ex. 19p290

X ^- 2 10

Evénement Face 1, 2 ou 3 Face 4

Probabilité 3

4

1 4

E ( X ) = 3

4 × ( - 2) + 1

4 × 10 = 1 donc en moyenne un joueur gagne 1 € par partie.

Ex. 20p290 Ex. 20p290 Ex. 20p290 Ex. 20p290

Le prix étant fixé à 2 € par billet, il faut en tenir compte dans le gain algébrique du joueur.

Ainsi les valeurs de G sont 0 − 2 = - 2 ou 10 − 8 = 8 ou 50 − 2 = 48 100 − 2 = 98.

On calcule P ( G ^=- 2) = 1 − P ( G ⁼ 8) − P ( G ⁼ 48) − P ( G ⁼ 98) et donc :

G ^- 2 8 48 98

Evénement 889 billets 100 billets 10 billets 1 billet

Probabilité 889 1000

1 10

1 100

1 1000

Ainsi E ( G ) = 0,889 × ( - 2) + 0,1 × 8 + 0,01 × 48 + 0,001 × 98 = - 0,4 donc en moyenne chaque joueur perd 40 centimes par partie.

Ex. 21p290 Ex. 21p290 Ex. 21p290 Ex. 21p290

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

On en déduit la loi de X :

X 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36

Evénement 1 2 2 3 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 2 1 2 1

Probabilité 1 36

1 18

1 18

1 12

1 18

1 9

1 18

1 36

1 18

1 9

1 18

1 36

1 18

1 18

1 18

1 36

1 18

1 36

E ( X ) = 1

36 × 1 + 1

18 × 2 + 1

18 × 3 + … + 1

36 × 36 = 441

36 = 12,25.

Ex. 24p290 Ex. 24p290 Ex. 24p290 Ex. 24p290

Les quatre chemins possibles sont : 1 − 1 − 2 − 1 (X = 5) ou 1 − 1 − 1 − 1 (X = 4) ou 1 − 1 − 1 − 1 − 1 (X = 5) ou 1 − 3 − 1 (X = 5).

D'où la loi de X :

E ( X ) = 1 4 × 4 + 3

4 × 5 = 4,75 donc en moyenne un trajet a pour longueur 475 mètres.

Ex. 27p290 Ex. 27p290 Ex. 27p290 Ex. 27p290

a) P ( X ^Â 2) = P ( X ⁼ 0) + P ( X ⁼ 1) + P ( X ⁼ 2) = 0,1 + 0,15 + 0,25 = 0,5.

Il y a donc une chance sur deux que le standard reçoive au maximum deux appels en une minute.

P (1 Â X ^Â 4) = P ( X ⁼ 1) + P ( X ⁼ 2) + P ( X ⁼ 3) + P ( X ⁼ 4) = 0,15 + 0,25 + 0,3 + 0,15 = 0,85.

Il y a donc 85% de chances pour que le standard reçoive entre un et quatre appels en une minute.

b) La proba qu'il reçoive au moins trois appels est

P ( X ^Ã 3) = P ( X ⁼ 3) + P ( X ⁼ 4) + P ( X ⁼ 5) = 0,3 + 0,15 + 0,05 = 0,5.

On peut remarquer que ( X ^Ã 3) est l'événement contraire de ( X ^Â 2) et donc P ( X ^Ã 3) = 1 − P ( X ^Â 2)

= 1 − 0,5 = 0,5.

E ( X ) = 0,1 × 0 + 0,15 × 1 + 0,25 × 2 + 0,3 × 3 + 0,15 × 4 + 0,05 × 5 = 2,4 ce qui signifie qu'en moyenne le standard reçoit 2,4 appels par minute.

Ex. 28p290 Ex. 28p290 Ex. 28p290 Ex. 28p290

Il manque P ( X ⁼ 3) = 1 − 0,3 − 0,5 = 0,2.

Dans ces conditions, P ( X ^Ã 2) = P ( X ⁼ 2) + P ( X ⁼ 3) = 0,5 + 0,2 = 0,7.

E ( X ) = 0,3 × 1 + 0,5 × 2 + 0,2 × 3 = 1,9.

X 4 5

Evénement 1 trajet 3 trajets Probabilité 1

4

3

4

Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292

La loi de X est :

E ( X ) = 1 4 × 2 + 1

4 × 5 + 7

20 × 10 + 1

10 × 20 + 1

20 × 50 = 9,75 € ce qui signifie qu'un bon a en moyenne une valeur de 9,75 €.

V ( X ) = 1

4 × (2 − 9,75)

+ 1

4 × (5 − 9,75)

+ 7

20 × (10 − 9,75)

+ 1

10 × (20 − 9,75)

+ 1

20 × (50 − 9,75)

= 112,1875.

σ ( X ) = 112,1875 % 10,6 ce qui signifie qu'en moyenne chaque bon a une valeur distante de 10,6 € de leur moyenne de 9,75 €.

Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292 Ex. 36p292

La loi de X est :

E ( X ) = 0,8 × 0 + 0,15 × 5 + 0,05 × 10 = 1,25.

V ( X ) = 0,8 × (0 − 1,25)

+ 0,15 × (5 − 1,25)

+ 0,05 × (10 − 1,25)

= 7,1875.

σ ( X ) = 7,1875 % 2,68.

Ex. 40p292 Ex. 40p292 Ex. 40p292 Ex. 40p292

On peut considérer que X est le gain d'un joueur jouant au jeu 1 et que Y est celui d'un joueur jouant au jeu 2.

On constate que E ( X ) = 1

8 × ( - 2) + 3

2 × ( - 1) + 3 8 × 1 + 1

8 × 2 = 0 ce qui signifie que le gain moyen d'un joueur par partie au jeu 1 est nul.

De même E ( Y ) = 1

4 × ( - 5) + 1 8 × 0 + 1

8 × 1 + 1

2 × 2 = - 1

8 ce qui signifie que le gain moyen d'un joueur par partie au jeu 2 est de - 0,125 €.

Ainsi le jeu 2 est défavorable au joueur, et donc favorable à l'organisateur, alors que le jeu 1 est équitable.

X 2 5 10 20 50

Evénement 50 bons 50 bons 70 bons 20 bons 10 bons Probabilité 1

4

1 4

7 20

1 10

1 20

X 0 5 10

Evénement Rien Spare Strike

Probabilité 0,8 0,15 0,05

Ex. 46p293 Ex. 46p293 Ex. 46p293 Ex. 46p293

La loi de X est :

E ( X ) = 7

10 × ( - 2) + 3

20 × 0 + 1

20 × 3 + 1

20 × 8 + 1

20 × 48 = 1,55 ce qui signifie qu'un billet rapporte en moyenne (une fois déduit son achat) 1,55 €.

V ( X ) = 7

10 × ( - 2 − 1,55)

+ 3

20 × (0 − 1,55)

+ 1

20 × (3 − 1,55)

+ 1

20 × (8 − 1,55)

+ 1

20 × (48 − 1,55)

= 119,2475.

σ ( X ) = 119,2475 % 10,9 ce qui signifie qu'en moyenne chaque billet a une valeur distante de 10,9 € de leur moyenne de 1,55 €.

Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1

1) P ( S ) = 0,6 ; P

( R ) = 0,2 ; P

( A ) = 0,45 ; P S _Ò ⁽ A ) = 0,55 et P ( R ) = 0,18.

D'où l'arbre :

2) a) P ( S Ò ^∩ A ) = P( S Ò ) × P S _Ò ⁽ A ) = 0,4 × 0,55 = 0,22.

b) D’après la formule des probabilités totales, P ( A ) = P ( S ^∩ A ) + P ( S Ò ^∩ A ) = 0,6 × 0,45 + 0,22 = 0,49.

3) P ( B ) = 1 − P ( A ) − P ( R ) = 1 − 0,49 − 0,18 = 0,33 donc le gestionnaire a raison.

4) a) P ( S ^∩ R ) = P ( S ) × P

( R ) = 0,6 × 0,2 = 0,12.

b) P( S Ò ^∩ R ) = P ( R ) − P ( S ^∩ R ) = 0,18 − 0,12 = 0,06 d’après la formule des probabilités totales.

c) P ( S ^∩ R ) = 0,12 et P ( S ) × P ( R ) = 0,6 × 0,18 = 0,108.

Donc P ( S ^∩ R ) ≠ P ( S ) × P ( R ) et les événements S et R sont donc indépendants : le gestionnaire a tort.

X -2 0 3 8 48

Evénement 14 billets 3 billets 1 billet 1 billet 1 billet Probabilité 7

10

3 20

1 20

1 20

1 20

S L

S Ò L

A

R B

B A

R 0,6

0,4

0,2 0,45

0,55

0,35

d) P S _Ò ⁽ R ) =

P ( ^{S Ò ∩ R} )

P ( ) ^{S Ò =}

0,06

0,4 = 0,15 e) P

( S ) = P ( S ^∩ B )

P ( B ) = 0,6 × 0,35 0,33 = 7

11 % 0,646.

5) a)

x 200 230 270 350 380 420

evénement S ^∩ R S ^∩ A S ^∩ B S ^{Ò ∩} R S ^{Ò ∩} A S ^{Ò ∩} B

P ( X ⁼ x ) 0,12 0,27 0,21 0,06 0,22 0,12

b) E ( X ) = 0,12 × 200 + 0,27 × 230 + 0,21 × 270 + 0,06 × 350 + 0,22 × 350 + 0,12 × 420 = 297,80.

Le gestionnaire peut espérer gagner en moyenne 297,80 € par locataire.

c) Par conséquent sur une saison il peut espérer faire un chiffre d’affaire de 550 × 297,80 = 163790 €.

Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2

1) P ( C ) = 0,7 ; P

( A ) = 0,6 ; P

C

( A ) = 0,2. A Ò D'où l'arbre :

2) a) P ( C ^∩ A ) = 0,7 × 0,6 = 0,42.

b) D’après la formule des probabilités totales, P ( A ) = P ( C ^∩ A ) + P ( C Ò ^∩ A ) = 0,7 × 0,6 + 0,3 × 0,2 = 0,48.

c) P

A

( C Ò ) = P ( ^{A Ò ∩ Ò C} )

P ( ) ^{A Ò =}

0,3 × 0,8 1 − 0,48 = 0,24

0,52 = 6

13 % 0,4615.

3) a) ( G ⁼ 0) correspond à l'événement "ne pas acheter le voyage aux Seychelles" c’est-à-dire à A Ò . Donc P ( G ⁼ 0) = P( A Ò ) = 1 − P ( A ) = 0,52.

b)

x 0 1440 1600

événement A Ò C ^∩ A C ^{Ò ∩} A

P ( G ⁼ x ) 0,52 0,42 0,06

La remise engendre une baisse de 10% d'où le prix de 1600

 



 

1 − ¹⁰ 

100 = 1600 × 0,9 = 1440 €.

C

C Ò L

A

A Ò

A

A Ò 0,7

0,3

0,4 0,6

0,2

0,8

c) E ( G ) = 0 × 0,52 + 1440 × 0,42 + 1600 × 0,06 = 700,8 donc en moyenne, pour chaque client qui entre dans l’agence, celle-ci gagne 700,8 € sur le voyage aux Seychelles.

4) On refait l'arbre :

La remise passe à 15% ce qui fait que la valeur remisée du voyage est désormais de 1600 ×

 



 

1 − ¹⁵ 

100

= 1600 × 0,85 = 1360€.

De plus la nouvelle valeur de P

( A ) est 0,65 de sorte que P ( C ^∩ A ) = 0,7 × 0,65 = 0,455.

De même P

( A Ò ) = 1 − 0,65 = 0,35 donc P ( A Ò ) = P ( C ^∩ A ^{Ò ) +} P ( C Ò ^∩ A ^Ò ) = 0,7 × 0,35 + 0,3 × 0,8 = 0,485.

Ainsi :

x 0 1360 1600

événement A Ò C ^∩ A C ^{Ò ∩} A

P ( G ⁼ x ) 0,485 0,455 0,06

E ( G ) = 0 × 0,485 + 1360 × 0,455 + 1600 × 0,06 = 714,80 donc l’agence avait raison, l’espérance a augmenté.

5) On refait l'arbre :

C

C Ò L

A

A Ò

A

A Ò 0,7

0,3

0,35 0,65

0,2

0,8

C

C Ò L

A Ò

A

A Ò 0,7

0,3

0,5 - 0,01 T

0,2

0,8

0,5 + 0,01 T A

On a P

( A ) = 50 + T

100 = 0,5 + 0,01 T , donc P

( A Ò ) = 1 − (0,5 + 0,01 T ) = 0,5 − 0,01 T .

P ( A Ò ) = P ( C ^∩ A ^{Ò ) +} P ( C Ò ^∩ A ^Ò ) = 0,7 × (0,5 − 0,01 T ) + 0,3 × 0,8 = 0,35 − 0,007 T ⁺ 0,24 = 0,59 − 0,007 T . P ( C ^∩ A ) = 0,7 × (0,5 + 0,01 T ) = 0,35 + 0,007 T et P ( C Ò ^∩ A ) = 0,3 × 0,2 = 0,06.

De plus avec une remise de T % le prix du voyage aux Seychelles devient 1600 − 1600 T

100 = 1600 − 16 T . Donc la nouvelle loi de G est :

x 0 1600 − 16 T 1600

événement A Ò C ^∩ A C ^{Ò ∩} A

P ( G ⁼ x ) 0,59 − 0,007 T 0,35 + 0,007 T 0,06

f ( T ) = E ( G ) = 0(0,59 − 0,007 T ) + (1600 − 16 T )(0,35 + 0,007 T ) + 1600 × 0,06 = - 0,112 T

⁺ 5,6 T ⁺ 656.

f ( T ) est un trinôme du second degré avec a = -0,112 < 0 donc les branches de sa parabole sont orientées vers le bas et f admet un maximum est T

= - b

2 a ^{= -} 5,6

2 × ( - 0,112) = 25.

De plus f (25) = - 0,112 × 25

+ 5,6 × 25 + 656 = 726 donc :

T 0 25 50

signe de f ′ + 0 −

726 f

656 656

Donc l’agence doit proposer une remise de 25% pour que son gain soit maximal ; il sera alors de 726€ en moyenne sur le voyage aux Seychelles par client.

Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2

Partie A Partie A Partie A Partie A 1)

B

B Ò L

G Ò

G

G Ò 1

n ⁺ 1

n n ⁺ 1

1 6 5 G 6

1 6

5

6

2) D’après la formule des probabilités totales : P ( G ) = P ( B ^∩ G ) + P ( B Ò ^∩ G ) = 1

n ⁺ 1 × 5 6 + n

n ⁺ 1 × 1

6 = n ⁺ 5 6( n ⁺ 1) . Partie B

Partie B Partie B Partie B

1) a) P ( G Ò ) = 1 − P ( G ) = 1 − n ⁺ 5

6( n ⁺ 1) = 6 n ⁺ 6 − ( n ⁺ 5)

6( n ⁺ 1) = 5 n ⁺ 1 6( n ⁺ 1) .

x -1 4

événement G

P ( X = x ) 5 n ⁺ 1 6( n ⁺ 1)

n ⁺ 5 6( n ⁺ 1)

b) E ( X ) = -1 × 5 n ⁺ 1

6( n ⁺ 1) +4 × n ⁺ 5

6( n ⁺ 1) = - 5 n ⁻ 1 + 4 n ⁺ 20

6( n ⁺ 1) = 19 − n 6( n ⁺ 1) .

2) E ( X ) est le gain moyen par joueur par partie donc pour que le jeu soit favorable au joueur il faut E ( X ) > 0 ñ 19 − n > 0 car 6( n ⁺ 1) > 0 ñ n < 19.

Le jeu est favorable au joueur tant qu'il y a moins de 18 jetons noirs, au maximum.