A4919 - Une algébrique, deux diophantiennes
Q1 Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8^x – 18^x = 18^x – 27^x.
8^x – 18^x = 18^x – 27^x (8^x)/(27^x) – 2((18^x) /(27^x)) + 1 = 0 On pose X = (2/3)^x
On obtient X^3-2((X^3)/(X^2))+1 = X^3-2X+1 = 0 (1)
On constate une solution évidente X =1 (2/3)^x = 1 x = 0 première solution possible En factorisant (1) au moyen de la racine évidente (X-1), on obtient (X-1) (X^2 + X-1) = 0 Avec ∆ = 5, (X^2 + X-1) = 0 offre deux solutions possibles pour X :
➔ X = (-√5-1)/2 qui ne convient pas pour x, (2/3)^x étant nécessairement positif
➔ X = (√5-1)/2 (2/3)^x = (√5-1)/2
x = ln ((√5-1)/2)/ln(2/3) = 1,18681439… deuxième solution possible
Q2 Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs : x^2 + 26455 = 2^y.
x^2 + 26455 = 2^y
2^y - x^2 = 26455
y est nécessairement pair dans la mesure où la différence se terminant par le chiffre 5 ne peut être issue que de deux chiffres se terminant respectivement par 6 et 1 ou 4 et 9 or les puissances de 2 se terminant par 6 ou 4 ont des exposants pairs donc √(2^y) est un nombre entier
(√(2^y) – x) (√(2^y) + x) = 5 * 11 * 13 * 37
La seule solution possible est obtenue avec x = 1011 et y = 20 :
(√(2^20) – 1011) (√(2^20) + 1010) = (1024-1011) (2024+1011) = 13 * 2035
Q3 L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel. Déterminer le quatrième terme de la suite.
Soit q=a/b, la raison de la suite, a et b étant premiers entre eux et a>b>0 car N7>N1>0 (x+10) ((a^6)/b^6)) = x + 4000 = (x+10)+3990 (x+10) ((a^6)/b^6)-1) = 3990
(x+10)=n (b^6) avec n entier car tous les termes de la suite sont entiers et a et b sont premiers entre eux
DONC n(b^6) ((a^6)/b^6)-1) = 3990 n(b^6) ((a^6-b^6)/b^6) = 3990
n (a^6-b^6) = n (a^3-b^3) (a^3+b^3) = 3990 = 2 * 3 * 5 * 7 *19
La seule solution possible avec le produit de la somme et de la différence des mêmes cubes est :
3990 = 6 * 35 *19 = 6 * (27 + 8) * (27 - 8)
a = 3, b = 2 , n = 6 => x = 374 , q=3/2 et N4 = 1296
i 0 1 2 3 4 5 6 7
Ni 256 384 576 864 1296 1944 2916 4374
