TS ACTIVITÉ : suite arithmético-géométrique 2011-2012
Soit (un) la suite définie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=1 4un+ 3.
1. On se propose de conjecturer graphiquement la limite de la suite (un).
(a) Le plan étant muni d’un repère orthonormé, tracer, pourxappartenant à l’intervalle [0; 12], les droitesD et ∆ d’équations respectives :
y=1
4x+ 3 et y=x (b) Placeru0sur l’axe des abscisses.
SoitA0 le point d’abscisseu0 de la droiteD. Placer le pointA0.
Déterminer le terme de la suite (un) correspondant à l’ordonnée du pointA0. (c) Placer le point B1 de la droite ∆ ayant la même ordonnée queA0.
Déterminer le terme de la suite (un) correspondant à l’abscisse du pointB1.
(d) A partir de ce terme, construire par un procédé analogue les pointsA1,A2,A3 sur la droiteDet les points B2,B3,B4sur la droite ∆.
Placer successivementu1,u2, u3 etu4 sur l’axe ds abscisses.
(e) En poursuivant ce processus graphique, que peut-on conjecturer pour la limite de la suite (un) ? Faire apparaître le résultat sur la graphique précédent.
2. Soit (vn) la suite définie surNpar :vn =un−4.
(a) Déteminer vn+1 en fonction devn. En déduire la nature de la suite (vn).
(b) Exprimervn en fonction den.
En déduire que :∀n∈N, un= 4−3
1
4 n
. (c) Déterminer la limite de la suite (un).
O ~i
~j
y=x
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