une suite réelle, on appelle série de terme général x n la suite n

MPSI B DS 10 Commun 29 juin 2019

Problème 1

1. Quelques résultats sur les séries :

Soit (x _n ) _n∈

une suite réelle, on appelle série de terme général x _n la suite _n

P

k=1

x _k

n∈

. Si la suite _n P

k=1

x _k

n∈

admet une limite dans R on dit que la sé- rie converge, on note alors ^+∞ P

k=1

x _k la limite.

a. Soit f une fonction de R ^∗ + dans R décroissante. Encadrer P ⁿ

k=1

f (k) à l'aide d'in- tégrales de la fonction f plus, éventuellement, une constante (indépendante de n ).

b. Montrer que la série P ⁿ

k=1 1

k diverge et donner un équivalent de P ⁿ

k=1 1

k lorsque n tend vers +∞ .

Soient (x _n ) et (y _n ) deux suites de réels telles que y _n > 0 pour tout n ∈ N ^∗ et

x _n ∼ n→+∞ y _n , lim

n→+∞

n

X

k=1

y _k = +∞

On admet que P ⁿ

k=1

x k ∼ n→+∞

n

P

k=1

y k .

On considère la suite (u n ) dénie par u 0 ∈ R et u n+1 = u n + e ^−u

pour n ∈ N.

2. Montrer que (u n ) est strictement croissante et tend vers +∞ . On pose alors, pour n ∈ N, v n = e ^u

.

3. a. Montrer que la suite (v n+1 − v n ) tend vers 1 .

b. En déduire un équivalent de v n puis le premier terme du développement asymp- totique de u _n .

4. a. Montrer que v n+1 − v n − 1 ∼ 1 2n .

b. En déduire les deux premiers termes du développement asymptotique de v _n . c. Déterminer alors les deux premiers termes du développement asymptotique de

u _n .

Problème 2

Ce problème

a pour objet l'étude de la transformée de Fourier discrète et son application à un algorithme rapide de multiplication polynomiale.

Dans tout le problème, N désigne un entier naturel non nul et n = 2 ^N , ω _n = e

. On note C n = (e 0 , e 1 , · · · , e _n−1 ) la base canonique de C ⁿ :

e 0 = (1, 0, · · · , 0), e 1 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , e n−1 = (0, 0, · · · , 0, 1).

On dénit le polynôme associé à un élément de C ⁿ puis la transformée de Fourier discrète (notée F _n ).

Pour chaque a ∈ C ⁿ , le polynôme associé (noté A ) est déni par

a = (a 0 , a 1 , · · · , a n−1 ) ⇒ A = a 0 + a 1 X + · · · + a n−1 X ⁿ⁻¹ . l'application F _n est dénie de C ⁿ dans C ⁿ par :

∀a ∈ C ⁿ , F n (a) = (A(1), A(ω n ), A(ω _n ² ), · · · , A(ω _n ⁿ⁻¹ )).

1. Étude du cas particulier N = 2, n = 4 .

a. Préciser ω ₄ puis l'image d'un élément (a ₀ , a ₁ , a ₂ , a ₃ ) de C ⁴ par l'application F ₄ . b. Préciser la matrice M ₄ de l'endomorphisme F ₄ dans la base C ₄ de C ⁴ .

c. On désigne par M ₄ la matrice obtenue à partir de M ₄ en conjuguant tous les éléments. Calculer

M 4 M 4 . En déduire que M 4 est inversible et préciser M ₄ ⁻¹ . d. Calculer M ₄ ² et M ₄ ⁴ .

2. Étude du cas général.

a. Établir que l'application F n est un automorphisme.

b. Former la matrice M n de F n dans la base canonique C n de C ⁿ . Préciser en parti- culier, pour i et j entre 1 et n , le terme d'indice (i, j) de cette matrice.

c. Soit i et j deux entiers. En distinguant suivant que i − j est congru à 0 modulo n ou non, calculer la somme

n−1

X

k=0

ω ^(i−j)k _n .

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d'après E.P.I.T.A. 1999

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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d. Calculer le produit matriciel M n M n , en déduire F _n ⁻¹ .

e. Calculer M _n ² . Préciser l'eet de F _n ² sur la base canonique. En déduire F _n ⁴ . 3. Image de quatre vecteurs particuliers.

On dénit deux vecteurs u et v de C ⁿ par :

u = (Re(1), Re(ω _n ), · · · , Re(ω _n ⁿ⁻¹ )), v = (Im(1), Im(ω _n ), · · · , Im(ω ⁿ⁻¹ _n )) a. Exprimer F n (e 1 + e _n−1 ) et F n (e 1 − e _n−1 ) en fonction de u et v . En déduire F n (u)

et F n (v) .

b. On dénit les vecteurs u ₋ , u + , v ₋ , v + par : u ₋ =

√ n

2 (e 1 + e _n−1 ) − u, u + =

√ n

2 (e 1 + e _n−1 ) + u v ₋ =

√ n

2 (e 1 − e _n−1 ) − v, v + =

√ n

2 (e 1 − e _n−1 ) + v Calculer F n (u − ) , F n (u + ) , F n (v − ) , F n (v + ) en fonction de u − , u + , v − , v + . 4. Étude d'un algorithme récursif de calcul de F n (a) .

Dans cette question, on note ω = ω n et ω ⁰ = ω

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de sorte que ω ² = ω ⁰ .

À tout élément a = (a 0 , a 1 , · · · , a n−1 ) de C ⁿ , on associe les deux éléments b et c de C

n

2

(on rappelle que n = 2 ^N ) dénis par :

b = (a 0 , a 2 , · · · , a _n−2 ), c = (a 1 , a 3 , · · · , a _n−1 ) On note A , B , C les polynômes respectivement associés à a , b , c .

a. Exprimer A avec des polynômes obtenus à partir de B , C en substituant X ² à X .

b. Montrer que, pour k entre 0 et ⁿ ₂ − 1 ,

A(ω ^k ) = B(ω ^{0 k} ) + ω ^k C(ω ^{0 k} ), A(ω

^+k ) = B(ω ^{0 k} ) − ω ^k C(ω ^{0 k} ) c. Expliquer comment, à partir des questions précédentes, on peut calculer F _n (a)

par un procédé récursif.

d. On suppose connus tous les ω n et leurs puissances. On note u N le nombre d'opé- rations (additions et multiplications) eectuées dans le calcul récursif de F n (a) déni à la question précédente. En particulier u 0 = 0 . Montrer que l'on peut organiser le calcul pour que

u N = 2u N −1 + 3 × 2 ^N−1

e. En utilisant la suite u N 2 ^−N

N∈

, exprimer u N en fonction de N puis de n . 5. Produit rapide de deux polynômes.

On considère ici deux polynômes P et Q à coecients réels ou complexes de degré strictement inférieur à ⁿ ₂ et le polynôme R = P Q . On note

P = p 0 + p 1 X + · · · + p _n−1 X ⁿ⁻¹ Q = q ₀ + q ₁ X + · · · + q _n−1 X ⁿ⁻¹ R = r 0 + r 1 X + · · · + r n−1 X ⁿ⁻¹

p = (p 0 , p 1 , · · · , p _n−1 ) q = (q ₀ , q ₁ , · · · , q _n−1 ) r = p ∗ q = (r 0 , r 1 , · · · , r _n−1 )

pq = (p ₀ q ₀ , p ₁ q ₁ , · · · , p _n−1 q _n−1 ) (produit "terme à terme")

a. Comment s'exprime F n (r) avec F n (p) et F n (q) ?

b. Quel est le nombre d'opérations (additions et multiplications) nécessaires pour calculer R = P Q par les formules usuelles ?

c. On calcule successivement :

les transformées de Fourier discrètes F n (p) et F n (q) par l'algorithme récursif.

le produit (terme à terme) F n (p)F n (q) .

la transformée de Fourier discrète inverse F _n ⁻¹ (F _n (p)F _n (q)) .

Que calcule-t-on par cette méthode ? Déterminer en fonction de u _N puis de n le nombre d'opérations eectuées lors de ces calculs.

d. Conclure.

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