terme de la suite.

(1)

1S DEVOIR SURVEILLE N°6 Le 20 mars 2019

I. ( ) ^u

n

est définie sur par u

_n

3n 2 n 8 . 1. Calculer le 5

^ème

terme de la suite.

2. Exprimer u

_n

₁ u

_n

en fonction de n.

3. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

n

.

II. ( ) ^u

n

est définie sur par u

_n

2n ³ 15

2 n ² 6n 2.

1. Calculer le terme de rang 3 de la suite.

2. Construire le tableau de variation de la fonction définie sur par f( x) 2x ³ 15

2 x ² 6x 2.

3. En déduire le sens de variation de la suite ( ) ^u

n

.

III. ( ) ^u

ⁿ

est la suite définie pour tout n de par

 

 u ₀ 2

u

_n

₁ 2u

_n

² u

_n

3 . 1. Calculer u ₁ et u ₂ en détaillant les calculs.

2. Exprimer u

_n

₁ u

_n

en fonction de u

_n

puis déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

n

.

IV. ( ) ^u

n

est la suite définie pour tout n de par

 

 u ₀ 150

u

_n

₁ 0,8u

_n

45 .

1. A la calculatrice, déterminer u ₁₅ . Donner le résultat arrondi au millième.

2. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) ^u

n

. 3.

a. Compléter l algorithme suivant afin qu il détermine le plus petit entier n tel que u

_n

224,5.

U ……

n0

Tant que ……….

U ………..

n n 1 Fin Tant que Afficher n

b. Quelle est la valeur de n obtenue à la fin de l algorithme ?

4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre.

En 2018, le nombre de participants à cette course était de 150. On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre 20 % des participants ne reviennent pas l’année suivante et 45 nouveaux participants

s’inscrivent à la course.

a. On note v

n

le nombre de participants n années après 2018 (v

0

en 2018 ; v

1

en 2019 …).

Exprimer v

n 1

en fonction de v

n

.

b. Dans cette question, on admet les conjectures faites à la question 2.

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.

V. Sur le graphique au dos de la feuille, on a tracé la courbe d une fonction f et la droite d équation y x .

( ) ^u

ⁿ

est la suite définie sur par u

n

f (n) et ( ) ^v

ⁿ

est la suite définie sur par

 

 v

₀

0,5 v

n 1

f ( ) ^v

ⁿ

^.

1. Représenter sur l axe des ordonnées les valeurs de u

0

; u

1

; u

2

et u

3

.

2. Représenter sur l axe des abscisses les valeurs de v

0

; v

1

; v

2

et v

3

.

(2)

(3)

CORRECTION DU CONTRÔLE N°6 1S

I. ( ) ^u

n

est définie sur par u

_n

3n 2 n 8 . 1. Le 5

^ème

terme de la suite est u

4

3 4 2 4 8

7 6 . 2. Soit n un entier naturel.

u

_n

₁ 3( n 1) 2 n 1 8

3n 5 n 9 Alors u

_n

₁ u

_n

3n 5

n 9

3n 2 n 8

(3n 5)(n 8) (3n 2)(n 9) (n 9)(n 8)

(3n ² 5n 24n 40) (3n² 2n 27n 18) (n 9)(n 8)

22 (n 9)(n 8)

3. n 0 donc 22

( n 9)( n 8) 0. Ainsi, la suite ( ) ^u

n

est croissante.

II. ( ) ^u

n

est définie sur par u

_n

2n ³ 15

2 n ² 6n 2.

1. Le terme de rang 3 est u

3

2 3

³

15 2 3² 6 3 2 275

2 . 2. f( x) 2x ³ 15

2 x² 6x 2.

f est dérivable sur car c est une fonction polynôme de degré 3.

Pour tout x de , f (x ) 6 x² 15x 6.

81 0 donc le trinôme a deux racines qui sont x ₁ 2 et x ₂ 1

2 et il est du signe de a 6 0 sauf entre ces racines.

On peut alors construire le tableau suivant :

x 2 1/2 +

signe de f (x )

variation de f 56

27/8 3. f est croissante sur [0 [ donc la suite ( ) ^u

n

est croissante.

III. ( ) ^u

n

est la suite définie pour tout n de par

 

 u ₀ 2

u

_n

₁ 2 u

_n

² u

_n

3 . 1. u ₁ 2 2² 2 3 13 et u ₂ 2 13² 13 3 354.

2. Soit n . u

_n

₁ u

_n

2 u

_n

² u

_n

3 u

_n

2u

_n

² 3

Le carré d un réel est positif ou nul donc u

_n

₁ u

_n

0. Ainsi, la suite ( ) ^u

n

est croissante.

(4)

IV. est la suite définie pour tout n de par

 

 u ₀ 150

u

_n

₁ 0,8u

_n

45 . 1. u

_{1 5}

222,361.

2. La suite ( ) ^u

n

semble croissante et semble converger vers 225.

3. a.

U 150 n0

Tant que U 224,5 U 0,8U 45 n n 1 Fin Tant que

b. A la fin de l algorithme, n 23.

4. a. Diminuer de 20% revient à multiplier par

 

  1 ²⁰

100 0,8. Ainsi, pour tout n de , v

n 1

0,8v

n

45 De plus, v

0

150. On retrouve donc la suite étudiée précédemment.

b. La suite est croissante et sa limite est 250 donc, pour tout n de , v

n

terme de la suite.

1S DEVOIR SURVEILLE N°6 Le 20 mars 2019

I. ( ) u

est définie sur par u

3n 2 n 8 . 1. Calculer le 5

terme de la suite.

2. Exprimer u

1 u

en fonction de n.

3. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) u

.

II. ( ) u

est définie sur par u

2n 3 15

2 n ² 6n 2.

1. Calculer le terme de rang 3 de la suite.

2. Construire le tableau de variation de la fonction définie sur par f( x) 2x 3 15

2 x ² 6x 2.

3. En déduire le sens de variation de la suite ( ) u

.

III. ( ) u

est la suite définie pour tout n de par

 

 u 0 2

u

1 2u

² u

3 . 1. Calculer u 1 et u 2 en détaillant les calculs.

2. Exprimer u

1 u

en fonction de u

puis déterminer le sens de variation de la suite ( ) u

.

IV. ( ) u

est la suite définie pour tout n de par

 

 u 0 150

u

1 0,8u

45 .

1. A la calculatrice, déterminer u 15 . Donner le résultat arrondi au millième.

2. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) u

. 3.

a. Compléter l algorithme suivant afin qu il détermine le plus petit entier n tel que u

224,5.

U ……

n0

Tant que ……….

U ………..

n n 1 Fin Tant que Afficher n

b. Quelle est la valeur de n obtenue à la fin de l algorithme ?

4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre.

En 2018, le nombre de participants à cette course était de 150. On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre 20 % des participants ne reviennent pas l’année suivante et 45 nouveaux participants

s’inscrivent à la course.

a. On note v

le nombre de participants n années après 2018 (v

en 2018 ; v

en 2019 …).

Exprimer v

en fonction de v

.

b. Dans cette question, on admet les conjectures faites à la question 2.

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.

V. Sur le graphique au dos de la feuille, on a tracé la courbe d une fonction f et la droite d équation y x .

( ) u

est la suite définie sur par u

f (n) et ( ) v

est la suite définie sur par

 

 v

0,5 v

f ( ) v

.

1. Représenter sur l axe des ordonnées les valeurs de u

; u

; u

et u

.

2. Représenter sur l axe des abscisses les valeurs de v

; v

I. ( ) ^u

₁ u

3. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

II. ( ) ^u

2n ³ 15

2. Construire le tableau de variation de la fonction définie sur par f( x) 2x ³ 15

3. En déduire le sens de variation de la suite ( ) ^u

III. ( ) ^u

 u ₀ 2

₁ 2u

3 . 1. Calculer u ₁ et u ₂ en détaillant les calculs.

₁ u

puis déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

IV. ( ) ^u

 u ₀ 150

₁ 0,8u

1. A la calculatrice, déterminer u ₁₅ . Donner le résultat arrondi au millième.

2. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) ^u

( ) ^u

f (n) et ( ) ^v

f ( ) ^v

^.

I. ( ) ^u

₁ 3( n 1) 2 n 1 8

₁ u

( n 9)( n 8) 0. Ainsi, la suite ( ) ^u

II. ( ) ^u

2n ³ 15

2 . 2. f( x) 2x ³ 15

81 0 donc le trinôme a deux racines qui sont x ₁ 2 et x ₂ 1

27/8 3. f est croissante sur [0 [ donc la suite ( ) ^u

III. ( ) ^u

 u ₀ 2

₁ 2 u

3 . 1. u ₁ 2 2² 2 3 13 et u ₂ 2 13² 13 3 354.

₁ u

₁ u

0. Ainsi, la suite ( ) ^u

 u ₀ 150

₁ 0,8u

2. La suite ( ) ^u