Passage d'une année à l'autre
Problème A476 Diophante
Les entiers naturels x et y obéissent à la relation 2010 * x2 + x = 2011 * y2 + y.
En déduire, que x - y est un carré parfait p2 dont on donnera les trois plus petites valeurs.
Solution
Comme d’habitude, résolvons le cas général, en posant 2010 = n.
Ainsi l’équation devient : y2 = n * (x2 – y2) + x – y et, en posant x – y = u, on obtient : y2 = u * [n * (u + 2 * y) + 1]
Tout diviseur premier de y, qui divise u, ne divise pas le facteur entre crochets, qui vaut 1 modulo u.
Donc u est nécessairement un carré p2. En notant y = p * q, il vient alors q2 = n * (p2 + 2 * p* q) + 1
(q – n * p)2 = n * p2 + 1 + n2 * p2 = n* (n+1) * p2 + 1
Nécessairement, le nombre n * (n+1) * p2 + 1 doit être un carré ? Ce n’est pas le cas pour p = 1.
Par contre, pour p = 2, on a n* (n+1) * 4 + 1 = (2 * n + 1)2 Il vient alors, ou q = 4 * n + 1 (ou q = - 1, à éliminer).
Par suite, y = 8 * n + 2 et, enfin, x = 8 * n + 6.
Contrôle :
2010 * x2 + x = n * (8 * n + 6) 2 + 8 * n + 6
= (8 * n + 6) * ((8 * n2 + 6 * n + 1) = (4 * n + 3) * (4 * n + 2)* (4 * n + 1) 2011 * y2 + y = (n + 1) * (8 * n + 2) 2 + 8 * n + 2
= (8 * n + 2) * ((8 * n2 + 10 * n + 3) = (4 * n + 1) * (4 * n + 2)* (4 * n + 3) Pour les valeurs de p suivantes, je ne sais pas bien faire.
