A152 Comment passer d’une année à l’autre
Commençons par le cas général : on pourra passer de l’entier A à l’entier B par une série de p multiplications par P suivies de q divisions entières par 10 si et seulement si 10q B ≤ Pp A < 10q (B+1) ou encore B/A ≤ Pp /10q <(B+1)/A qui peut encore s’écrire logB –logA ≤ p logP –q < log(B+1) –logA (logarithmes en base 10)
Si P n’est pas une puissance de 10, donc a fortiori n’est pas divisible par 10, logP est irrationnel, et l’ensemble des nombres de la forme p logP –q , avec p et q entiers, est dense sur l’ensemble des réels : on peut donc trouver un couple p,q tel que p logP –q soit compris entre logB –logA et log(B+1) –logA.
En pratique, pour exhiber un couple p,q répondant à la question, il suffit de trouver un couple d’entiers a,b tels que a logP –b < log(B+1) –logB puis, dans le cas où B>A, calculer l’entier c=[(logB-logA)/(a logP –b)] +1 où [ ] note la partie entière. On a alors p=ac et q=bc. Le cas B≤A peut se traiter de même, mais on peut aussi commencer par diviser A par 10 un nombre suffisant de fois pour se ramener au cas précédent.
Revenons au cas A= 2005 et B=2006 avec P=7. On a alors logB –logA=2.10-4 et log(B+1)-logA=4.10-4 Par les fractions continues, on peut construire les convergents successifs vers 1/ log7 : 6/5 ;13/11 ; 71/60 ; 439/371 ; 510/431, qui donnent pour alog7- b des valeurs d’environ 7.10-2, -1,4 .10-2, 2.10-3, -2.10-3 , 4.10-7. Il faut donc prendre le dernier couple de valeur, et alors c=542, donc p= 276420 et q=233602, soit un total de 510022 opérations
On est bien sûr très loin de la méthode la plus rapide!
Je ne sais pas si l’on peut rationnellement trouver la façon la plus rapide pour passer par exemple de 2005 à 2006, mais on peut faire quelques observations :
Comme suggéré par le premier convergent, la multiplication par 76 puis la division entière par 105 permet d’obtenir un nombre « un peu plus grand », donc en itérant une suite assez faiblement croissante, qui a des chances de passer par le nombre que l’on cherche à atteindre.
Par ailleurs 585*73=200655 2005*76=235886245 et 23*7=161
puis en itérant les multiplications par 76 suivies de la division entière par 105 on obtient la suite 161, 189, 222, 261, 307, 361, 424, 498, 585
Ce qui doit permettre de passer de 2005 à 2006 en 107 opérations…
