Calculons ab′−a′b : cas n°

Remédiation Compétence G15 : Savoir déterminer le nombre de solutions et les solutions éventuelles d’un système

(S) _^a x+by=c (1)

a′x+b′y=c′ (2)

Remarque :

Chacune des équations (1) et (2) sont des équations de droites.

Or deux droites sont Donc ce type de système appelé système linéaire de deux équations à deux inconnues aura soit parallèles distinctes Soit aucun couple solution

cas 1

soit parallèles confondues soit une infinité de couples solutions cas 2 soit sécantes. Soit un unique couple solution

Exemples : Déterminer le nombre de solutions pour les trois systèmes ci-dessous

( )

^S1

{

^{2-6x−5yx+15=1 (1)y=2 (2)}

^{( )}

^S2 _^{x−y= 13} (1)

-3x+3y=-1 (2)

( )

^S3

{

^{2x3x−3y−4y=7 (1)=15 (2)}

Calculons ab′−a′b :

2×15−(-6)×(-5)=30−30=0 1×3−(-3)×(-1)=3−3=0 2×(-4)−3×(-3)=-8+9=1ý0

cas n°

Cas n°1 Cas n°1 Cas n° 2

Pour les cas n°1, il nous faut maintenant savoir si l

’

on est dans le cas d

’

aucun couple solution ou d

’

une infinité de couple solution . Concernant le cas n°2, il ne nous reste plus qu

’

à déterminer le couple solution unique.

Méthode : Ecrire un système équivalent composé des équations réduites de chacune des droites. 2 méthodes (méthode par substitution ou méthode par combinaison linéaire) un but commun… obtenir un système équivalent où l’une des équations n’a plus qu’ une seule inconnue !

Méthode par substitution (substituer = remplacer) Méthode par combinaison linéaire (d'élimination)

( )

^{S1 ñ}



 

^{y= 2}₅^x−1₅⁽¹⁾

y= ² 5x− ²

15(2) Les équations (1) et (2) sont donc les équations de deux droites strictement parallèles donc le système

( )

^S1

n’admet aucun coupe solution

( )

^{S2 ñ}



 

^y=x−1₃⁽¹⁾

y=x−¹ 3(2) Les équations (1) et (2) sont donc les équations de deux droites confondues, le système

( )

^S2 admet donc une infinité de couples solutions.

Ce sont les coordonnées des points de la droite d’équation y=1

2x−3 2 . C’est-à-dire ce sont tous les couples

 

 

x;x−¹ 3 lorsque x décrit Ë.

( )

^{S3 ñ}

 



x=³ 2y+⁷

2(1) 3x−4y=15(2)

on exprime x en fonction de y dans (1) et on remplace dans (2) donc

( )

^{S3 ñ}



 

^x=3₂^y+7₂ ⁽¹⁾

3×

 

 

3 2y+⁷

2 −4y=15 (2) ñ



 

^x=₂^3y+7₂ ⁽¹⁾

9 2y+²¹

2 −4y=15 (2)ñ



 

^x=3₂^y+7₂ ⁽¹⁾

9 2y−⁸

2y=³⁰ 2−²¹

2 (2) ñ



 

^x=3₂^y+7₂ ⁽¹⁾

1 2y=⁹

2 (2)

ñ

  

^{y=9 (2)}

x=³ 2×9+⁷

2=17 (1)

( )

^{S3 ñ}_^6_-6^x−9_x+8^y=21(1)_y=-30(2)

en multipliant (1) par 3 et (2) par -2, on conserve alors une des équations (1) ou (2) et on ajoute membre à membre donc

( )

^{S3 ñ}_^2_-^x−_y=³_{-9 (2)}^{y=7 (1)ñ}_^y=_2x=⁹ _3×⁽²⁾_{9+7 (1)}

ñ



y=9 (2) x=17 (1)

Remarque : Choix de la méthode :

- on utilise la méthode par substitution en général pour les cas où les coefficients

d’une des deux inconnues est égal à 1 ou

à -1 dans une des deux équations.

- Dans les autres cas, la méthode par combinaison linéaire est en général mieux adaptée

Conclusion

S=Ø S=













_x;x−¹

 

3 ;x☻Ë Donc S=

{

^(17;9)

}

Donc S=

{

^(17;9)

}

En utilisant la propriété du cours ci-dessous, on peut déterminer si l’on est dans le cas 1 ou 2 :

Soit (S) le système

{

^{a x+b y=ca′x+b′y=c′}

• Si a b′−a′b=0 alors les deux équations du système (S) sont les équations de deux droites parallèles et donc (S) admet soit une infinité de couples solutions, soit aucun couple solution.

• Si a b′−a′bý0 alors les deux équations du système (S) sont les équations de deux droites sécantes et donc (S) admet un unique couple solution.

A vous de jouer…

Résoudre les systèmes suivants :

( )

^S1

 



^3x+2y=1

2x+⁴

3y=0

( )

^S2 3x+4y=5

-2x+y=2

( )

^S3



 

¹₂^x−y=3₂

-¹ 5x+²

5y=-³ 5

Pour

( )

^S1 :

3×

 

 

4

3 −2×2=4−4=0

donc

( )

^S1 admet soit aucun coupe solution soit une infinité de couples solutions.

Or,

( )

^{S1 ñ}



 

^y=-3₂^x+1₂

y=-³ 2x

Les deux équations sont les équations de deux droites strictement parallèles

donc S=Ø.

Pour

( )

^S2 :

3×1−(-2)×4=3+8=11ý0

donc

( )

^S2 admet un unique couple de solution

Méthode pat substitution (idéale ici car le coefficient de y dans la deuxième équation est égal à 1)

( )

^{S2 ñ}_^y=_3x+²₄^x+_×(2^{2 (2)}_{x+2)=5 (1)}

ñ



y=2x+2 (2) 11x=5−8=-3 (1)

ñ



 

^x=-₁₁^{3 (1)}

y=2×

 

 

- ³

11 +2=¹⁶ 11 (2) Donc S=













_- ³

 

11;¹⁶ 11

Pour

( )

^S3 : 1

2×2 5−

 

 

-¹

5 ×(-1)=1 5−1

5=0

donc

( )

^S3 admet soit aucun coupe solution soit une infinité de couples solutions.

Or,

( )

^{S3 ñ}



 

^y=1₂^x−3₂

2 5y=¹

5x−³ 5

ñ



 

^y=1₂^x−3₂

y=¹ 2x−³

2

Les deux équations sont les équations de deux droites confondues donc

( )

^S3 admet une infinité de couples solutions. Ce sont les coordonnées des points de la droite d’équation y=1

2x−3 2 Donc S=













_x;¹

 

2x−³ 2 ;x☻Ë