Sur la résolution d'un système particulier de deux équations simultanées du degré m à deux inconnues

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E SCARY

Sur la résolution d’un système particulier de deux équations simultanées du degré m à deux inconnues

Nouvelles annales de mathématiques 2

^e

série, tome 20

(1881), p. 227-229

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SUR LA RÉSOLUTION R UN SYSTÈME PARTICULIER DE DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES DU DEGRÉ m A DEUX INCONNUES;

PAR M. ESCARY.

Le système des deux équations simultanées du degré TW,

^ ' • £.111 ylU

se résout d'une manière très élégante en introduisant, comme l'a fait M. Lannes dans la question duConeours général de 1879 (f ), les angles du triangle construit avec les coefficients a, b, c comme côtés, en supposant cette construction possible. En eiiet, en rendant ces équations homogènes, elles s'écrivent

i a.rm -*- brm — cz"\

('0 - a b c

y n ~/n

Si l'on pose ~ = a, — = [î, — = y, et qu'on multi- plie les équations (2) membre à membre, on a, en r e n - dant le résultat entier,

abf~m -{- (a2 -+- b2 — c2)f" 4- ab =z o,

(') Nouvelles Annales, 2e série, t. XIX, p. 5o8.

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d'où l'on tire

r2 — a1 — b2 ± y ^4 -+- b+ -h & — 2 b2 c2— 2 c2 a2

Or, si l'on désigne par S la surface du triangle dont les côtés sont #, è, c, on voit que le radical a pour va- leur 4S y/— 1. En observant encore que l'on a

2 S — ab sinC, on a enfin

v/n — — cosC zb \j'— 1 sinC, d'où

Y —- cos zz.\. — 1 sin

où Ton doit attribuer à K les valeurs o, 1, 2? . . ., m — 1.

On trouve de la même manière

A - h ' î K i r . / . À

a =: cos ± V— 1 sin 1 ni v m B + 2R1: ^ . B-+-2K1:

Si maintenant l'on fait, dans les équations ( 1 ), z = 1, on retombe dans les équations (1), et des valeurs précé- dentes de a et de (3 on tire celles de x et dej', savoir

BH-2K7: . B - f 2K7:

.2" ~ cos zz v — 1 sin ? m m A -+- 2 K ir / . A -\- 2 Kir y — cos ± 1 - 1 sin :

m > m

Ce sont les 1 m systèmes de solutions des équations pro- posées (1).

Il nous a paru intéressant de présenter ici cette réso- lution du système des équations (1), à cause de l'analogie que l'on observe, grâce à la représentation géométrique

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de M. Laiines, entre ses solutions et celles des équations trinômes, dans le cas des racines imaginaires, car on sait que ces dernières racines conduisent alors, en les inter- prétant géométriquement, à l'élégant théorème de Cotes.