Terminale STG Exercices sur le chapitre 8 : E6. page n ° 1 2007 2008
E6 Savoir démontrer ou utiliser l'indépendance de deux événements.
N ° 8
1 ) Leurs contraintes horaires de fin de journée sont indépendantes.
Donc la probabilité de l'intersection est égale au produit des probabilités.
Ici cela fait p = 0,9 × 0,8 = 0,72.
2 ) La probabilité d'avoir le deuxième train pour Franck est égale à 1 − 0,9 = 0,1.
La probabilité d'avoir le même train pour Thomas est égale à 1 − 0,8 = 0,2.
Donc la probabilité qu'ils se retrouvent dans le deuxième train est égale à 0,02.
N ° 9 Monsieur Probas lance un dé non pipé à 9 faces numérotées de 1 à 6.
1 ) Déterminons les probabilités des événements : A : " obtenir au plus 3 " = { 1 ; 2 ; 3 }
B : " obtenir un multiple de trois " = { 3 ; 6 } C : " obtenir un nombre impair " = { 1 ; 3 ; 5 }.
Le dé étant non pipé il y a équiprobabilité. Donc la formule p =
possibles cas
de nombre
favorables cas
de
nombre s'applique.
p ( A ) = 3 6 = 1
2 p ( B ) = 2 6 = 1
3 p ( C ) = 3 6 = 1
2 . 2 ) pB ( A ) =
) B ( p
) B A (
p ∩
= 1
2 ; pA ( C ) = ) A ( p
) C A (
p ∩
= 2
3 et p ( B ∩ C ) = 1 6 3 ) A et B sont indépendants car pB ( A ) = p ( A ).
A et C ne sont pas indépendants car pA ( C ) ≠ p ( C ).
B et C sont indépendants car p ( B ∩ C ) = p ( B ) × P ( C ).
N ° 10 Dans un jeu classique de 32 cartes, Monsieur Probas en tire une au hasard.
Donc il y a équiprobabilité. Donc la formule p =
possibles cas
de nombre
favorables cas
de
nombre s'applique.
1 ) Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes. Donc p ( R ) = 4 32 = 1
8 . Il y a 8 piques dans un jeu de 32 cartes. Donc p ( Q ) = 8
32 = 1 4
Il n'y a qu'un seul roi de pique dans un jeu de 32 cartes. Donc p ( R ∩ Q ) = 1 32 . Ainsi p ( Q ) × p ( R ) = p ( Q ∩ R ).
Donc les événements R " tirer un roi " et Q " tirer un pique " sont indépendants.
2 ) Il y a 12 figures dans un jeu de 32 cartes. Donc p ( F ) = 12 32 = 3
8 .
Il y a 3 figures ( Roi, Dame et Valet ) de piques dans un jeu de 32 cartes. Donc p ( F ∩ Q ) = 3 32 Ainsi p ( F ) × p ( Q ) = 3
8 × 1 4 = 3
32 = p ( F ∩ Q ).
Donc les événements F " tirer une figure " et Q sont indépendants.
3 ) Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes. Donc p ( F ∩ R ) = 4 32 = 1
8 p ( F ) × p ( R ) = 3
8 × 1 8 = 3
64 . Ainsi p ( F ∩ R ) ≠ p ( F ) × p ( R ).
Donc les événements F et R ne sont pas indépendants.
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N ° 11
Une épreuve aléatoire consiste à lancer plusieurs pièces de monnaies.
On désigne par A l'événement : " toutes les pièces tombent du même côté "
et par B l'événement " au plus une pièce donne face ".
1 ) Pour deux pièces lancées,
a ) Décrivons l'univers de l'épreuve. U = { PP ; PF ; FF ; FP }.
b ) L'épreuve est aléatoire.
Donc il y a équiprobabilité. Donc la formule p =
possibles cas
de nombre
favorables cas
de
nombre s'applique.
A = { PP ; FF } p ( A ) = 2
4 B = { PP ; PF ; FP } p ( B ) = 3
4 A ∩ B = { PP } p ( A ∩ B ) = 1 4 c ) Les événements A et B ne sont pas indépendants car p ( A ∩ B ) ≠ p ( A ) × p ( B ).
2 ) Même questions pour trois pièces lancées.
a ) Décrivons l'univers de l'épreuve. U = { PPP ; PPF ; PFP ; PFF ; FPP ; FPF ; FFP ; FFF }.
b ) L'épreuve est aléatoire.
Donc il y a équiprobabilité. Donc la formule p =
possibles cas
de nombre
favorables cas
de
nombre s'applique.
A = { PPP ; FFF } p ( A ) = 2
8 B = { PPP ; PPF ; PFP ; FPP } p ( B ) = 4 8 A ∩ B = { PPP } p ( A ∩ B ) = 1
8
c ) Les événements A et B sont indépendants car p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p ( B ).
En effet p ( A ) × p ( B ) = 2 8 × 4
8 = 8 64 = 1
8 N ° 12
1 ) Construisons un tableau d'effectifs.
29 janvier 2007 Ont la calculatrice N'ont pas la calculatrice Total
Ont leur manuel 15 3 18
N'ont pas leur manuel 10 2 12
Total 25 5 30
2 ) a ) On choisit au hasard un élève de la classe de Monsieur Probas.
Donc il y a équiprobabilité. Donc la formule p =
possibles cas
de nombre
favorables cas
de
nombre s'applique.
La probabilité qu'il ait apporté son manuel est égale à 18 30 = 0,6.
b ) La probabilité qu'il ait apporté son manuel sachant qu'il a apporté sa calculatrice est égale à 15 25 = 0,6.
c ) Les événements " l'élève a apporté son manuel " et l'élève a apporté sa calculatrice sont indépendants car pC ( M ) = p ( M ).
( La probabilité d'amener son manuel est la même avec ou sans la condition d'amener sa calculatrice ).